[论文解读] Online Stochastic Matching, Poisson Arrivals, and the Natural Linear Program

Zhiyi Huang, Xinkai Shu|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2021

Optimization and Search Problems参考文献 23被引用 8

一句话总结

本文针对独立同分布（i.i.d.）在线顶点到达的在线随机匹配问题，提出了改进的竞争力算法，采用泊松到达模型以简化分析，并引入一种新颖的分摊相关采样技术。通过利用自然线性规划的结构特性及詹森不等式的逆向形式，该工作在无权匹配中实现了0.711的竞争力比，在顶点加权匹配中实现了0.7009的竞争力比——两项结果均优于以往工作。

ABSTRACT

We study the online stochastic matching problem. Consider a bipartite graph with offline vertices on one side, and with i.i.d.online vertices on the other side. The offline vertices and the distribution of online vertices are known to the algorithm beforehand. The realization of the online vertices, however, is revealed one at a time, upon which the algorithm immediately decides how to match it. For maximizing the cardinality of the matching, we give a $0.711$-competitive online algorithm, which improves the best previous ratio of $0.706$. When the offline vertices are weighted, we introduce a $0.7009$-competitive online algorithm for maximizing the total weight of the matched offline vertices, which improves the best previous ratio of $0.662$. Conceptually, we find that the analysis of online algorithms simplifies if the online vertices follow a Poisson process, and establish an approximate equivalence between this Poisson arrival model and online stochstic matching. Technically, we propose a natural linear program for the Poisson arrival model, and demonstrate how to exploit its structure by introducing a converse of Jensen's inequality. Moreover, we design an algorithmic amortization to replace the analytic one in previous work, and as a result get the first vertex-weighted online stochastic matching algorithm that improves the results in the weaker random arrival model.

研究动机与目标

• 在已知分布但实现值按顺序揭示的独立同分布（i.i.d.）在线顶点到达条件下，提升在线随机匹配的竞争力比。
• 克服以往在顶点加权情形下的局限性，即在未引入额外假设的前提下，此前在随机顺序模型中未取得任何改进。
• 通过引入泊松到达模型，简化竞争力分析，将渐近独立性转化为真实独立性。
• 开发一种新的算法框架——分摊相关采样，以在在线随机匹配设置中实现更强的性能保证。
• 建立泊松到达模型与原始在线随机匹配模型之间的严格联系，证明前者中的竞争力比可推广至后者。

提出的方法

• 引入泊松到达模型，其中在线顶点数量服从泊松分布，从而在事件分析中实现精确独立性，简化竞争力比的推导。
• 为泊松到达模型提出一个自然的线性规划，以捕捉期望匹配行为并指导算法设计。
• 提出詹森不等式的逆向形式，用于分析相关采样下的期望匹配概率，从而获得更紧的竞争力比上界。
• 设计一种分摊相关采样机制，根据离线顶点权重和期望可用性动态调整匹配概率，优于以往工作中使用的解析分摊方法。
• 采用改进的成对采样策略，结合衰减函数δ(x)，在探索与利用之间取得平衡，确保高权重顶点具有高匹配概率。
• 通过O(1)-近似单调性论证，证明该算法在泊松模型中的性能可推广至原始在线随机匹配模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在更强的随机假设下，是否能够将无权匹配的竞争力比提升至0.706以上？
• RQ2 能否设计一种顶点加权的在线随机匹配算法，使其性能优于随机顺序模型中已知的最佳结果？
• RQ3 将在线到达建模为泊松过程，是否能简化在线匹配算法的分析，同时保持竞争力保证？
• RQ4 能否有效利用泊松到达模型的自然线性规划，以推导出改进的竞争力比？
• RQ5 如何形式化分摊相关采样，以替代解析分摊，从而在顶点加权设置中实现更优性能？

主要发现

• 本文在无权在线随机匹配中实现了0.711的竞争力比，优于此前最佳的0.706。
• 在顶点加权在线随机匹配中，所提算法实现了0.7009的竞争力比，超越了随机顺序模型中此前最佳的0.662。
• 泊松到达模型通过将渐近独立性转化为精确独立性，使分析更加清晰，简化了竞争力比的推导。
• 作者证明了在泊松模型中导出的竞争力比可扩展至原始在线随机匹配模型，仅受一个小的乘法因子影响。
• 分摊相关采样技术成功替代了解析分摊，实现了顶点加权在线随机匹配设置中的首次性能提升。
• 数值验证表明，每个离线顶点的匹配概率下界均超过其权重的0.7009倍，验证了竞争力比的正确性。