[論文レビュー] Open Book Structures on Moment-Angle Manifolds $Z^{\mathbb C}(\Lambda)$ and Higher Dimensional Contact Manifolds

Yadira Barreto, Santiago López de Medrano+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、複素モーメント・アングル多様体 $Z^\mathbb{C}(\Lambda)$ におけるオープン・ブック分解を構成し、そのページが $N(\Lambda) \setminus N(\Lambda_0)$ の形をした複素多様体であることを確立する。また、正の共形構造を生成するための熱方程式法を用いた新規な手法を導入し、任意の高次元の奇数次元でコンパクトな接触多様体を明示的に構成する。主な貢献は、特定の連結性および次元条件の下で、これらのオープン・ブックのページの位相的分類である。

ABSTRACT

We construct open book structures on moment-angle manifolds and give a new construction of examples of contact manifolds in arbitrarily large dimensions.

研究の動機と目的

• 定義データの単体的凸多面体とその面の構造を用いて、複素モーメント・アングル多様体 $Z^\mathbb{C}(\Lambda)$ におけるオープン・ブック分解を確立すること。
• 単純連結性および次元 $\geq 6$ の仮定の下で、$k=2$ の場合におけるこれらのオープン・ブックのバインディングおよびページの位相的記述を提供すること。
• 正の共形構造を生成する熱方程式に基づく新規な手法を用いて、任意の高次元の奇数次元でコンパクトな接触多様体の例を構成すること。
• モーメント・アングル多様体がほぼ接触構造および準接触構造を備えていることを示し、すべてのほぼ接触多様体が接触多様体であるという予想を支持すること。

提案手法

• 多面体 $P$ に関連する $Z^\mathbb{C}(F)$ をバインディングとし、自明なモノドロミーを用いるオープン・ブック分解の枠組みを用いる。ここで $F$ は多面体 $P$ の面である。
• 相対的マッピングトーラス構成を用い、境界上で恒等写像にホモトープな微分同相写像による境界付き多様体の商として、オープン・ブックのページをモデル化する。
• 熱方程式法を用いて、$Z^\mathbb{C}(\Lambda,n,s)$ 上に正の共形構造 $\alpha$ を構成し、任意の点が $\alpha$ が正である点へリーマン曲線で接続されることを保証することで、接触構造を導出する。
• 結果 [16] および [21] を用い、ページが $\Lambda_0$ を $\Lambda$ から一つの要素を除いたものとしたときの複素多様体 $N(\Lambda) \setminus N(\Lambda_0)$ として同定する。
• $h$-コボルディズム定理および Mayer-Vietoris 列を用い、特に $n_1 = 1$ および $\ell > 1$ の場合に、半多様体 $Z^+$ の位相を分析し、その微分同相型を分類する。
• 一般化されたモーメント・アングル複体およびその境界分解の理論を適用し、ページの構造が球面およびディスクの積の接続和、または球面上に埋め込まれた積の外部として得られることを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定義データの多面体的構造を用いて、複素モーメント・アングル多様体 $Z^\mathbb{C}(\Lambda)$ におけるオープン・ブック分解を体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 $k=2$ の場合、単純連結性および次元 $\geq 6$ の仮定の下で、これらのオープン・ブックのページおよびバインディングの正確な位相的型は何か？
• RQ3 オープン・ブック分解とは独立した手法を用いて、任意の高次元の奇数次元で新たなコンパクトな接触多様体を構成できるか？
• RQ4 熱方程式法は $Z^\mathbb{C}(\Lambda,n,s)$ 上で正の共形構造を生成し、それが真の接触構造を誘導するか？ もし生成するならば、既存の構成法と比較してどのように異なるか？
• RQ5 オープン・ブック分解のページは、どの程度まで複素構造を備えているか？ また、それらは LV-M 複素多様体 $N(\Lambda)$ とどのように関係しているか？

主な発見

• $k=2$ の場合、$Z^\mathbb{C}(\Lambda)$ のページは、$\ell=1$ のとき、$S^{n_2-1} \times S^{n_3-1} \times D^{n_1-1}$ の内部に微分同相型である。
• $\ell > 1$ かつ $n_1 > 1$ のとき、ページは $\ell+1$ 個の多様体 $S^{d_i-1} \times D^{n-d_i-2}$ および $D^{d_i-1} \times S^{n-d_i-2}$ の境界付き接続和に微分同相型である。
• $n_1 = 1$ かつ $\ell > 2$ のとき、ページは $2\ell$ 個のこのような多様体の境界付き接続和に加え、$S^{d_2-1} \times S^{d_{\ell+2}-1} \setminus D^{n-3}$ の外部としての構造を持つ。
• $n_1 = 1$ かつ $\ell = 2$ のとき、ページは $S^{d_2-1} \times S^{d_4-1} \setminus D^{n-3}$ と、$S^{n_2-1} \times S^{n_5-1}$ が $S^{n-3}$ 内に埋め込まれたものの外部 $\tilde{E}$ からなる境界付き接続和である。
• $Z^\mathbb{C}(\Lambda,n,s)$ は熱方程式法により正の共形構造を備え、これが伝導的であるため接触構造を誘導する。これにより、任意の高次元の奇数次元でコンパクトな接触多様体の新たな明示的構成が得られる。
• オープン・ブックのページは、$\Lambda_0$ を $\Lambda$ から一つの要素を除いたものとしたときの複素多様体 $N(\Lambda) \setminus N(\Lambda_0)$ として同定され、条件 (K) の下で、複素トーラスをファイバーとするトーリック軌道の商多様体へのセイフェルトファイブレーションである。