[論文レビュー] Optimal Control Computation via Evolution Partial Differential Equation with Arbitrary Definite Conditions

Sheng Zhang, Enmi Yong+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2017

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の境界条件を有する進化偏微分方程式（EPDE）を用いた最適制御計算の新規手法を提案する。この手法により、不適切な初期状態からでも最適解への収束が可能となる。不等式制約のないリャプノフ関数を構築し、EPDEを半離散化して初期値問題（IVP）に変換することで、グローバル収束を保証する。数値例を通じて、高い精度とロバスト性が確認された。

ABSTRACT

The compact Variation Evolving Method (VEM) that originates from the continuous-time dynamics stability theory seeks the optimal solutions with variation evolution principle. It is further developed to be more flexible in solving the Optimal Control Problems (OCPs), by relaxing the definite conditions from a feasible solution to an arbitrary one for the derived Evolution Partial Differential Equation (EPDE). To guarantee the validity, an unconstrained Lyapunov functional that has the same minimum as the original OCP is constructed, and it ensures the evolution towards the optimal solution from infeasible solutions. With the semi-discrete method, the EPDE is transformed to the finite-dimensional Initial-value Problem (IVP), and then solved with common Ordinary Differential Equation (ODE) numerical integration methods. Illustrative examples are presented to show the effectiveness of the proposed method.

研究の動機と目的

• 従来の手法が有する固定境界条件の制限を克服する、柔軟な最適制御計算フレームワークの構築を目的とする。
• 任意（不適切を含む）の初期条件からでも最適解への収束を可能とする。
• 元の最適制御問題の最小値を保つ不等式制約のないリャプノフ関数を用いて、グローバル収束を保証する。
• EPDEの半離散化により、初期値問題（IVP）としての常微分方程式（ODE）系に変換し、数値的に取り扱いやすいアプローチを提供する。
• 高い精度とロバスト性を示す数値例を通じて、手法の有効性を検証する。

提案手法

• 変分進化原理を用いて、最適制御問題から進化偏微分方程式（EPDE）を導出する。
• 元の最適制御問題と同じ最小値を保つ不等式制約のないリャプノフ関数を導入し、任意の初期状態から収束を保証する。
• EPDEを有限次元系に半離散化し、初期値問題（IVP）に変換する。
• 得られたIVPは、常微分方程式（ODE）の標準的な数値積分法で解く。
• 従来の手法が妥当な初期解を必要とするのに対し、本手法は任意の境界条件を扱えるため、柔軟性が向上する。
• 連続時間ダイナミクスの安定性理論を活用し、最適解への進化を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意（不適切を含む）の初期状態から最適制御問題を効果的に解くことができるか？
• RQ2 初期状態に依存せずに最適解への収束を保証するためのリャプノフ関数は、どのように構築できるか？
• RQ3 半離散化は、EPDEを数値的に解けるODE系に変換する役割を果たすか？
• RQ4 本手法は、既存の最適制御計算技術と比較して、精度とロバスト性において優れているか？
• RQ5 EPDEフレームワークは、収束性を損なわずに任意の境界条件を扱えるように一般化可能か？

主な発見

• 提案手法は、不適切な初期状態からでも、システムを最適解へと効果的に誘導する。
• 不等式制約のないリャプノフ関数により、元の最適制御問題の最小値を保ちながらグローバル収束を実現する。
• EPDEの半離散化により得られるIVPは、標準的なODEソルバーを用いて効率的に数値解が得られる。
• 数値例では、さまざまなテストケースにおいて高い精度とロバスト性が確認された。
• 従来の手法が妥当な初期点を必要とするのに対し、本手法は任意の境界条件を扱えるため、顕著な柔軟性を示す。
• 数値的安定性と収束特性の観点から、リアルタイムおよび大規模最適制御応用への応用可能性が著しく高い。