[論文レビュー] Optional splitting formula in a progressively enlarged filtration

Shiqi Song|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、信用リスクモデリングにおける重要なツールであるオプションスプリッティング公式が、段階的に拡大されたフィルトレーションにおいて有効であるための十分条件を確立する。条件付き密度仮説が成り立つ場合、複数の確率的時刻においても公式が成立することを証明し、拡大されたフィルトレーションにおける semimartingale および martingale 分解における長年の可測性の問題を解決する。

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}$ be a filtration and $τ$ be a random time. Let $\mathbb{G}$ be the progressive enlargement of $\mathbb{F}$ with $τ$. We study the validity of the following formula, called optional splitting formula : For any $\mathbb{G}$-optional process $Y$, there exist a $\mathbb{F}$-optional process $Y'$ and a function $Y"$ defined on $[0,\infty] imes(\mathbb{R}_+ imesΩ)$ being $\mathcal{B}[0,\infty]\otimes\mathcal{O}(\mathbb{F})$ measurable, such that $$ Y=Y'\ind_{[0,τ)}+Y"(τ)\ind_{[τ,\infty)} $$ We are interested in this formula, because it has been taken for granted in number of recent works in credit risk modeling, whilst such a formula can not be true in general. Sufficient conditions will be given for the validity of the above formula as well as of its extension in the case of multiple random times.

研究の動機と目的

• オプションスプリッティング公式が段階的に拡大されたフィルトレーションで有効となる条件を明確化すること。
• 特に信用リスクモデリングの文脈において、公式の有効範囲に関する曖昧さを解消すること。
• 具体的には、条件付き密度仮説を用いた実用的な十分条件を提示し、公式の有効性を保証すること。
• オプションスプリッティング公式をフィルトレーション拡大理論における基本的な可測性の問題と結びつけること。
• 既存の主要な研究（例：[9, 14, 27, 28, 31]）において、公式が成立する理由が、背後に潜む密度仮説に起因することを示すこと。

提案手法

• 論文は、確率的時刻 τ を用いたフィルトレーション 𝔽 の段階的拡大を分析し、得られるフィルトレーションを 𝔾 と定義する。
• オプションスプリッティング公式を導入する：任意の 𝔾-可測過程 Y に対して、ある 𝔽-可測過程 Y′ と、 jointly 可測な関数 Y′′ が存在し、Y = Y′1_{[0,τ)} + Y′′(τ)1_{[τ,∞)} が成り立つ。
• 解析は、パrameterized 可測投影および ℱ∞ に対する密度 γ* を持つ確率測度 ν の使用に依存する。
• 密度仮説が成り立つ場合、投影の右連続性の性質を用いて、条件付き期待値 𝔼[h(ξ₁,τ₁)|𝒢ₜ] がオプションスプリッティング公式を満たすことを証明する。
• 同じ投影および密度の議論を用いて、数学的帰納法により、複数のマーク付き時刻 (ξᵢ,τᵢ) に対しても結果を拡張する。
• 結果は、ℱ∞-可測な確率測度および終端 σ-代数 𝒢∞− への拡張も含めて一般化される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 段階的に拡大されたフィルトレーションにおいて、オプションスプリッティング公式が有効となる条件は何か？
• RQ2 なぜ公式は普遍的に有効ではないのか？ そして、正確な可測性の制約は何か？
• RQ3 条件付き密度仮説がどのようにオプションスプリッティング公式の有効性を保証するのか？
• RQ4 オプションスプリッティング公式と信用リスクモデルにおける予測可能双対投影との関係は何か？
• RQ5 公式は複数の確率的時刻へと拡張可能か？ どのような仮定の下で成立するか？

主な発見

• 条件付き密度仮説が ℱ∞ に対して成り立つ場合、1つの確率的時刻 τ に対してオプションスプリッティング公式が成立する。
• 複数のマーク付き時刻 ((ξ₁,τ₁),…,(ξₘ,τₘ)) に対しては、ℱ∞ に対する連合密度仮説が成り立つ場合に公式が成立する。
• いくつかの主要な信用リスク論文（[9, 14, 27, 28, 31]）において、公式が成立するのは、背後に潜む密度仮説に起因する。
• h(x,u)γ*(x,u) のパrameterized 可測投影が、スプリッティング公式に必要な 𝔽-可測過程の存在を保証する。
• 投影過程の右連続性が保証されることで、martingale 𝔼[h(ξ₁,τ₁)|𝒢ₜ] がオプションスプリッティング公式を満たすことが保証される。
• 結果として、ℱ∞-可測な確率測度と密度 γ* を持つものは、𝔾-可測過程の一貫した分解を可能にする。