[論文レビュー] Paracontrolled quasilinear SPDEs

Marco Furlan, Massimiliano Gubinelli|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2016

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 40被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、空間時間白色ノイズを伴う準線形確率偏微分方程式（SPDE）、例えば抛物型アンダーソン・モデルを正規化するための非線形パラコントロール微積分を導入する。非線形性をパラプロダクトを用いて分解し、定数係数のパラメトリック・テンプレート解を用いることで、正則化された解が Hölder 空間においてほとんど確実に収束し、低正則性ノイズに起因する特異性を解消する。

ABSTRACT

We introduce a non-linear paracontrolled calculus and use it to renormalise a class of singular SPDEs including certain quasilinear variants of the periodic two dimensional parabolic Anderson model.

研究の動機と目的

• 高次元ノイズ（空間時間白色ノイズなど）を伴う準線形確率偏微分方程式の正規化フレームワークを構築すること。
• ノイズの低正則性と非線形性のため、古典的解理論が破綻する問題に対処すること。
• 拡散係数が解に依存する準線形設定に、パラコントロール微積分を拡張すること。
• 正則化された解が、放物的 Hölder 空間においてほとんど確実に well-defined な極限に収束することを確立すること。
• 白色ノイズを超える多様なノイズ構造およびベクトル値方程式へのアプローチの一般化を図ること。

提案手法

• Bony のパラプロダクト分解に基づく非線形パラコントロール微積分を導入し、準線形SPDEにおける特異項を扱う。
• 非線形性を $ \partial_t u - a(u) \prec \Delta u = \xi + \Phi(u) $ の形に分解し、ここで $ \prec $ はパラプロダクトを表し、$ \Phi(u) $ は共鳴寄与項を捕捉する。
• 定数係数 $ \eta_1, \eta_2 $ を持つパラメトリック・テンプレート問題を用いて解の構造をモデル化し、パラコントロールアンザッツ $ u = \Pi_{\prec\prec}(a(u), \vartheta) + u^\sharp $ を定義する。
• 三重線形交換子推定とパラプロダクトの有界性を用いて、$ \mathscr{C}^\alpha $ 空間における非線形項の正則性を制御する。
• 時間平滑化パラプロダクトと比較補題を用いて、時間的正則性を扱い、放物的 Hölder 範数における収束を保証する。
• 正則化された解 $ u_\varepsilon $ の収束を証明するため、$ \varepsilon \to 0 $ で発散を相殺するように、正規化補正項 $ \sigma_\varepsilon \frac{a'(u_\varepsilon)}{a(u_\varepsilon)^2} $ を加える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解に依存する拡散係数を伴う準線形SPDEに対して、パラコントロール微積分を拡張することは可能か？
• RQ2 非線形性が分布的意味で定義されない空間時間白色ノイズを伴う準線形SPDEを正規化するにはどうすればよいか？
• RQ3 Hölder 空間における正則化された解の極限への収束を保証するための正しい正規化補正項は何か？
• RQ4 パラコントロール手法を非定数かつ非退化係数および一般のノイズ構造を持つ方程式へ一般化できるか？
• RQ5 ノイズが放物的正則性 $ \rho > -4/3 $ を持つとき、解の放物的 Hölder 空間における正則性は何か？

主な発見

• 準線形SPDEの解 $ u $ は、ほとんど確実に放物的 Hölder 空間 $ \mathscr{L}_T^\alpha(\mathbb{T}^2) = C([0,T], \mathscr{C}^\alpha(\mathbb{T}^2)) \cap C^{\alpha/2}([0,T], \mathscr{C}^0(\mathbb{T}^2)) $ に属する。ここで $ \alpha \in (2/3, 1) $ である。
• 正則化された解 $ u_\varepsilon $ は、$ \varepsilon \to 0 $ のとき、正規化補正項 $ \sigma_\varepsilon \frac{a'(u_\varepsilon)}{a(u_\varepsilon)^2} $ を加えることで、ほとんど確実に極限 $ u $ に収束する。
• 極限 $ u $ は、分解 $ u = \Pi_{\prec\prec}(a(u), \vartheta) + u^\sharp $ によって特徴づけられるパラコントロール特異SPDEを満たす。ここで $ u^\sharp $ は標準的なPDEを満たす。
• 共鳴項 $ a(u) \circ \Delta u $ の正則性が $ 2\alpha - 2 $ であることが示され、ノイズ $ \xi \in \mathscr{C}^{\alpha-2} $ よりも良好であるため、パラコントロール技法による制御が可能である。
• 本手法は、空間白色ノイズに限らない、ベクトル値系および放物的正則性 $ \rho > -4/3 $ を持つノイズを伴う広範な方程式クラスに適用可能である。
• 理論は頑健であり、一般の滑らかで非退化係数を伴う方程式 $ a_1(u)\partial_t u - a_2(u)\Delta u = \xi(a_3(u), t, x) $ へ自然に拡張可能である。