[論文レビュー] Pathwise unique solutions and stochastic averaging for mixed stochastic partial differential equations driven by fractional Brownian motion and Brownian motion

Bin Pei, Yuzuru Inahama+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 40被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ヒルストパラメータ $ H > 1/2 $ の分数ブラウン運動（fBm）と標準ブラウン運動によって駆動される混合確率偏微分方程式（SPDE）に対して、経路ごとの一意な解と確率的平均化原理を確立する。一般化されたスティルチェス積分に基づく経路的アプローチと停止時刻技術、fBmの近似を組み合わせることで、著者らは解の存在と一意性を証明し、速い成分の拡散過程の不変測度に依存する、平均二乗意味での極限過程を導出する。

ABSTRACT

This paper is devoted to a system of stochastic partial differential equations (SPDEs) that have a slow component driven by fractional Brownian motion (fBm) with the Hurst parameter $H >1/2$ and a fast component driven by fast-varying diffusion. It improves previous work in two aspects: Firstly, using a stopping time technique and an approximation of the fBm, we prove an existence and uniqueness theorem for a class of mixed SPDEs driven by both fBm and Brownian motion; Secondly, an averaging principle in the mean square sense for SPDEs driven by fBm subject to an additional fast-varying diffusion process is established. To carry out these improvements, we combine the pathwise approach based on the generalized Stieltjes integration theory with the Itô stochastic calculus. Then, we obtain a desired limit process of the slow component which strongly relies on an invariant measure of the fast-varying diffusion process.

研究の動機と目的

• ヒルストパラメータ $ H > 1/2 $ の分数ブラウン運動（fBm）と標準ブラウン運動によって駆動される混合SPDEの経路的解の存在と一意性を確立すること。
• 速い成分が急変する拡散過程によって駆動され、遅い成分がfBmによって駆動されるSPDEに対して、確率的平均化原理を構築すること。
• 多重ノイズや非加法的分数ノイズを伴う無限次元設定において、従来の手法が失敗する問題を克服すること。
• 混合ノイズSPDEに対して、経路的積分技法とイトのストラスカルキュラスを統合すること。
• 速い成分のダイナミクスの不変測度に依存する、遅い成分の極限SPDEを導出すること。

提案手法

• 非セミマルティンゲール性を示すfBm成分を扱うために、一般化されたスティルチェス積分理論に基づく経路的アプローチを採用する。
• 停止時刻技術とfBmの近似を用いて、混合SPDEの解の存在と経路的一意性を確立する。
• 速い成分の拡散過程の不変測度理論を応用し、遅い成分の極限的挙動を導出する。
• SPDE枠組みにおいて、ブラウン運動部分にはイトのストラスカルキュラスを、fBm部分には経路的積分を組み合わせる。
• 半群 $ S_t $ の収縮性とホルダーの不等式を用いて、平均化誤差における交差項を推定する。
• 速い過程のマルコフ性を活用して条件付き期待値構造を定義し、$ L^2 $ における平均化誤差を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルストパラメータ $ H > 1/2 $ のfBmと標準ブラウン運動によって駆動される混合SPDEが、無限次元ヒルバート空間において、経路的一意解を有するか？
• RQ2 遅い成分がfBmによって駆動され、速い成分が急変する拡散過程によって駆動されるSPDEに対して、確率的平均化原理が成立するか？
• RQ3 速い成分ダイナミクスの不変測度を用いて、遅い成分の極限挙動を平均二乗意味で特徴づける方法は何か？
• RQ4 従来のfBm駆動SDEの存在・一意性結果を、混合ノイズを伴う無限次元SPDEに拡張するための技術的修正は何か？
• RQ5 経路的積分とイトのカルキュラスの組み合わせが、非セミマルティンゲール性ノイズを伴う混合SPDEに対して一貫した枠組みを提供できるか？

主な発見

• 著者らは、停止時刻技術とfBmの近似を用いて、非線形係数 $ f, ho, g $ に適切な条件が満たされる場合、混合SPDE (1.1) の解の存在と経路的一意性を証明する。
• 遅い成分に対して、平均二乗意味での確率的平均化原理が確立され、fBmとブラウン運動によって駆動される極限SPDEへの収束が示される。
• 極限SPDEは、速い成分の拡散過程の不変測度に依存しており、これにより平均化係数の収束が保証される。
• 平均化原理の誤差は $ C(1 + |X^ u_{k au}|^2 + | ilde{Y}^ u_{k au}|^2) e^{-\eta(s - \tau)/2} $ で有界であり、時間差に伴う指数的減衰を示す。
• 本手法は、従来の手法の限界を克服し、多重ノイズと非加法的fBmを伴う無限次元SPDEへの結果の拡張に成功する。
• 遅い成分の収束が $ L^2 $-意味で示され、極限過程は速い過程の不変測度から導かれる平均化されたドリフトおよび拡散係数によって特徴づけられる。