[논문 리뷰] Pattern avoidance is not P-recursive

Scott Garrabrant, Igor Pak|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 25.

semigroups and automata theory참고 문헌 31인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 계산 가능성 이론을 활용하여 두 스택 오토마타를 순열 패턴 회피 문제에 통합함으로써, $S_{80}$ 내의 유한한 순열 패턴 집합에 대해 그 회피 순열의 수가 P-재귀가 아님을 보여줌으로써 Noonan–Zeilberger 추측을 반증한다. 이 증명은 이러한 순열 수의 수열이 2를 법으로 동일한 수의 수락 경로를 갖는 비-P-재귀적 오토마타의 수와 일치함을 보여준다.

ABSTRACT

Let $F \subset S_k$ be a finite set of permutations and let $C_n(F)$ denote the number of permutations $σ$ in $S_n$ avoiding the set of patterns $F$. The Noonan-Zeilberger conjecture states that the sequence ${C_n(F)}$ is P-recursive. We use Computability Theory to disprove this conjecture.

연구 동기 및 목표

• 오랜 기간 동안 남아있던 Noonan–Zeilberger 추측을 반증하기 위해, 모든 패턴 회피 수열이 P-재귀적임을 주장하는 추측을 뒤집는 것.
• 패턴 회피 순열을 세는 문제의 복잡도가 P-재귀 수열의 범위를 초월할 수 있음을 입증하는 것.
• 순열 패턴 집합에 대해 Wilf-등가성 모듈로 2 문제의 결정 불가능성을 보여주는 것.
• 표준 복잡도 가정 하에 일부 패턴 회피 수열이 다항 시간 내에 계산될 수 없음을 보여주는 것.

제안 방법

• 입력 길이의 산술적 진행에서 수락 경로의 수가 P-재귀가 아닌 두 스택 오토마타를 구성하는 것.
• 조합적 구성법을 통해 이러한 오토마타의 경로 수 계산 문제를 순열 패턴 회피 문제에 통합하는 것.
• 주요 보조정리(메인 레마)를 사용하여 특정 패턴 집합 $\mathcal{F} \subset S_{80}$ 을 회피하는 순열의 수가 무한히 많은 $n$ 에 대해 2를 법으로 수락 경로의 수와 일치함을 보이는 것.
• 이전 연구 [GP1]에서의 선형 군 내 비-P-재귀 수열 결과를 활용하여 결정 불가능성 및 복잡도 결과를 이전하는 것.
• 통합을 적용하여 모듈로 2에서 Wilf-등가성을 결정하는 것이 결정 불가능함을 보이는 것.
• 복잡도 이론적 가정(예: $\text{EXP} \neq \oplus\text{EXP}$)을 적용하여 다항 시간 내에 계산될 수 없는 패턴 집합이 존재함을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Noonan–Zeilberger 추측, 즉 모든 유한한 순열 패턴 집합에 대해 패턴 회피 수열이 항상 P-재귀적임이 참인가?
• RQ2 주어진 패턴 집합을 회피하는 순열의 수가 다항 계수를 갖는 선형 재귀를 만족하지 못할 수 있는가?
• RQ3 두 패턴 집합이 모듈로 2에서 Wilf-등가인지 여부를 판단하는 문제는 결정 가능한가?
• RQ4 다항 시간 내에 계산될 수 없는 회피 순열 수를 갖는 유한한 순열 패턴 집합이 존재할 수 있는가?

주요 결과

• Noonan–Zeilberger 추측은 잘못됨: $\mathcal{F} \subset S_{80}$ 이며 $\{C_n(\mathcal{F})\}$ 가 P-재귀가 아님을 만족하는 유한한 집합이 존재함.
• 이 증명은 수락 경로의 수가 P-재귀가 아닌 두 스택 오토마타를 구성하고, 모듈로 동치를 통한 패턴 회피 문제에 통합함으로써 이루어짐.
• 모든 $n$ 에 대해 $C_n(\mathcal{F}_1) \equiv C_n(\mathcal{F}_2) \pmod{2}$ 인지 여부를 결정하는 문제는 결정 불가능함.
• $\text{EXP} \neq \oplus\text{EXP}$ 를 가정할 경우, $\{C_n(\mathcal{F})\}$ 가 $n$ 에 대해 다항 시간 내에 계산될 수 없는 유한한 패턴 집합 $\mathcal{F}$ 가 존재함.
• 이 구성은 이러한 $\mathcal{F}$ 에 대해 $\{C_n(\mathcal{F})\}$ 의 생성함수가 반드시 D-유한(즉, 해로니크가 아님)이 아님을 보여줌.
• 이 결과는 다항 시간 계산 공식이 존재하지 않는 자연스러운 조합적 수학 문제의 가족이 존재하는지에 대한 Wilf의 질문에 대해 부정적인 답변을 제공함.