[论文解读] Pebbling and Branching Programs Solving the Tree Evaluation Problem

Dustin Wehr|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文通過受限計算模型——分數放石子（fractional pebbling）與節儉分支程式（thrifty branching programs）——研究樹評估問題（TEP），以建立解決 TEP 的分支程式大小的更緊緻下界。論文證明了 d-ary 樹的緊緻分數放石子下界，並提供了一種新的統一證明方法，適用於所有 k 和 h，且可延伸至約束逐漸放寬的較不嚴格模型。

ABSTRACT

We study restricted computation models related to the Tree Evaluation Problem}. The TEP was introduced in earlier work as a simple candidate for the (*very*) long term goal of separating L and LogDCFL. The input to the problem is a rooted, balanced binary tree of height h, whose internal nodes are labeled with binary functions on [k] = {1,...,k} (each given simply as a list of k^2 elements of [k]), and whose leaves are labeled with elements of [k]. Each node obtains a value in [k] equal to its binary function applied to the values of its children, and the output is the value of the root. The first restricted computation model, called Fractional Pebbling, is a generalization of the black/white pebbling game on graphs, and arises in a natural way from the search for good upper bounds on the size of nondeterministic branching programs (BPs) solving the TEP - for any fixed h, if the binary tree of height h has fractional pebbling cost at most p, then there are nondeterministic BPs of size O(k^p) solving the height h TEP. We prove a lower bound on the fractional pebbling cost of d-ary trees that is tight to within an additive constant for each fixed d. The second restricted computation model we study is a semantic restriction on (non)deterministic BPs solving the TEP - Thrifty BPs. Deterministic (resp. nondeterministic) thrifty BPs suffice to implement the best known algorithms for the TEP, based on black (resp. fractional) pebbling. In earlier work, for each fixed h a lower bound on the size of deterministic thrifty BPs was proved that is tight for sufficiently large k. We give an alternative proof that achieves the same bound for all k. We show the same bound still holds in a less-restricted model, and also that gradually weaker lower bounds can be obtained for gradually weaker restrictions on the model.

研究动机与目标

• 透過受限模型分析樹評估問題（TEP），以深化對 L 及其與 LogDCFL 分離的理解。
• 利用分數放石子與節儭模型，建立解決 TEP 的非決定性與決定性分支程式大小的緊緻下界。
• 推廣並統一現有的節儉分支程式下界證明，使其適用於所有 k 和 h，且無需漸近假設。
• 探討分支程式約束逐漸放寬時，對應產生的下界如何變化。

提出的方法

• 引入分數放石子作為黑白放石子的推廣，透過 O(k^p) 上界將放石子代價與非決定性分支程式大小連結。
• 證明 d-ary 樹的分數放石子代價具有緊緻下界，對每個固定的 d 僅相差一個加法常數。
• 定義節儉分支程式為一種語義限制，可捕捉基於黑白與分數放石子的最優演算法。
• 提供節儉決定性分支程式下界的一種替代證明，適用於所有 k 和 h，不僅限於 k 較大的情況。
• 引入參數 w 以限制節儉集合大小大於 1 的節點數量，從而介於強與弱模型之間插值。
• 使用建議字串技術模擬學習狀態，並根據此類狀態的數量及其節儉集合大小推導出大小下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 d-ary 樹的精確分數放石子代價為何？能否對所有 d 建立緊緻界？
• RQ2 是否能對所有 k 和 h 統一證明節儉分支程式下界，而無需假設 k 足夠大？
• RQ3 分支程式約束逐漸放寬時，對應的大小下界如何變化？
• RQ4 在 w（具有大節儉集合的節點數量）有界之模型中，是否仍可獲得超多項式下界？
• RQ5 是否存在具有少於 (k+1)^h 個狀態的 TEP 決定性分支程式，從而挑戰預期的下界？

主要发现

• 確立了 d-ary 樹的分數放石子代價的緊緻下界，對每個固定的 d，與上界僅相差一個加法常數。
• 提供了節儉決定性分支程式下界的一種替代證明，適用於所有 k 和 h，不僅限於 k 較大的情況。
• 相同下界在較不嚴格的模型中亦成立，顯示該下界不僅在嚴格節儉約束下成立，更具魯棒性。
• 透過引入參數 w 限制具有大節儉集合的節點數量，論文推導出解決 BT^h(k) 的決定性 BPs 的下界為 k^h / π^w。
• 當 w=1 且 π=log k - log log k 時，下界為 Ω(k^h / log k)，與 BT^h(k) 的最佳已知上界一致，暗示緊緻性。
• 當 w < h-2 且 π < k 時，模型仍能產生非平凡下界，支持節儉 BPs 需要 Ω(k^{#FRpebbles(T^h)}) 個狀態的猜想。