[论文解读] Physics-Informed Neural Network for the Transient Diffusivity Equation in Reservoir Engineering

Daniel Badawi, Eduardo Gildin|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2023

Model Reduction and Neural NetworksPhysics and Astronomy被引用 3

一句话总结

本文提出一种物理信息神经网络（PINN）框架，用于求解储层工程中的瞬态扩散方程，通过域分解克服刚性问题，实现对压力和流量的精确预测。该方法在压力预测中实现了小于0.2%的相对L2误差，并在无需关井的情况下估计了渗透率和边界距离等储层参数，展示了实时储层分析的反演能力。

ABSTRACT

Physics-Informed machine learning models have recently emerged with some interesting and unique features that can be applied to reservoir engineering. In particular, physics-informed neural networks (PINN) leverage the fact that neural networks are a type of universal function approximators that can embed the knowledge of any physical laws that govern a given data-set in the learning process, and can be described by partial differential equations. The transient diffusivity equation is a fundamental equation in reservoir engineering and the general solution to this equation forms the basis for Pressure Transient Analysis (PTA). The diffusivity equation is derived by combining three physical principles, the continuity equation, Darcy's equation, and the equation of state for a slightly compressible liquid. Obtaining general solutions to this equation is imperative to understand flow regimes in porous media. Analytical solutions of the transient diffusivity equation are usually hard to obtain due to the stiff nature of the equation caused by the steep gradients of the pressure near the well. In this work we apply physics-informed neural networks to the one and two dimensional diffusivity equation and demonstrate that decomposing the space domain into very few subdomains can overcome the stiffness problem of the equation. Additionally, we demonstrate that the inverse capabilities of PINNs can estimate missing physics such as permeability and distance from sealing boundary similar to buildup tests without shutting in the well.

研究动机与目标

• 解决多孔介质中瞬态扩散方程的刚性问题，该问题由于井附近压力梯度陡峭而阻碍数值和解析解法的应用。
• 开发一种物理信息神经网络（PINN）方法，将控制PDE和边界条件直接嵌入损失函数，以实现无网格的解逼近。
• 展示PINN的反演能力，仅利用生产速率历史数据即可估计未知储层参数（如渗透率和封闭边界距离），而无需依赖关井操作。
• 通过实现连续、实时的压力和流量时空预测，克服传统数值方法的局限性。
• 将PINN框架扩展至圆形储层中的二维径向流，涵盖恒定井底压力和恒定生产速率两种工况。

提出的方法

• 训练PINN以最小化复合损失函数，该函数包含扩散方程残差项、初始条件、边界条件以及子域界面处的连续性约束。
• 通过将空间域划分为三个子域（近井区、中间区、远场区）实施域分解策略，以缓解刚性并提高训练稳定性。
• 在损失函数中引入罚项，以确保子域界面处压力和压力梯度的连续性，从而保证解的光滑性。
• 利用神经网络中的自动微分计算压力对空间和时间的导数，从而直接应用达西定律进行流量估算。
• 采用无监督方式训练PINN，仅依赖PDE和边界条件，无需依赖先前模拟或实验的标注数据。
• 通过将未知储层参数（如渗透率、边界距离）设为可训练变量，并在训练过程中利用观测到的生产速率数据进行优化，应用反演PINN框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 物理信息神经网络能否在井筒附近存在陡峭梯度的情况下，准确逼近一维和二维瞬态扩散方程的解？
• RQ2 域分解在提升PINN求解多孔介质中径向扩散方程的训练收敛性和解的精度方面效果如何？
• RQ3 PINN在仅利用生产速率历史数据而无需关井的情况下，能在多大程度上估计未知储层参数（如渗透率和封闭边界距离）？
• RQ4 PINN框架能否提供连续、类似解析的解，实现对压力和流量随时间的连续预测，从而支持实时储层分析和即时预测？
• RQ5 在恒定井底压力和恒定生产速率两种工况下，基于PINN的方法与高保真数值模拟相比，其精度如何？

主要发现

• 在恒定井底压力和恒定生产速率两种情况下，采用域分解的PINN与高保真数值解相比，压力预测的相对L2误差均低于0.2%。
• 利用达西定律和PINN框架中的自动微分进行流量预测，与高保真解相比，相对L2误差低于1.5%。
• 反演PINN成功仅基于生产速率历史数据即估计出储层渗透率和封闭边界距离，消除了传统压力恢复测试或速率暂态测试中通常需要的关井操作。
• 域分解方法通过将井筒附近的高梯度区域隔离至专用子域，显著提升了训练稳定性和解的精度。
• PINN框架实现了空间和时间上的连续可微解，使得无需依赖离散数值时间步长即可实现压力和流量的即时预测。
• 该方法在不同边界条件和流动状态下表现出鲁棒性，在线性与半对数压力图中均保持一致的高精度。