[論文レビュー] Poincare invariants

M. Duerr, Alexandre Kabanov+1 more|ArXiv.org|Aug 10, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、滑らかで射影的な表面の除数のヒルベルト・スケールに対して、障害理論を用いて仮想基本類を構成し、変形不変で、ブロー・アップおよびウォール・クロッシングの公式を満たすポアンカレ不変量の定義を可能にする。主な結果として、これらの不変量と完全なセイバーグ・ワインバーグ不変量との間の予想的な同型が、ルールド面、楕円曲線ファイブレーション、一般型の最小面を含む複数のケースで確認されている。

ABSTRACT

We construct an obstruction theory for relative Hilbert schemes in the sense of Behrend-Fantechi and compute it explicitly for relative Hilbert schemes of divisors on smooth projective varieties. In the special case of curves on a surface V, our obstruction theory determines a virtual fundamental class $[[ \Hilb^m_V ]]$, which we use to define Poincare invariants (P^+_V,P^-_V): H^2(V,Z) --> Λ^* H^1(V,Z) x Λ^* H^1(V,Z). These maps are invariant under deformations, satisfy a blow-up formula, and a wall crossing formula for surfaces with $p_g(V)=0$. We determine the invariants completely for ruled surfaces, and rederive from this classical results of Nagata and Lange. The invariant $(P^+_V,P^-_V)$ of an elliptic fibration is computed in terms of its multiple fibers. We conjecture that our Poincare invariants coincide with the full Seiberg-Witten invariants of Okonek-Teleman computed with respect to the canonical orientation data. The main evidence for this conjecture is based on the existence of an Kobayashi-Hitchin isomorphism which identifies the moduli spaces of monopoles with the corresponding Hilbert schemes. We expect that this isomorphism identifies also the corresponding virtual fundamental classes. This more conceptual conjecture is true in the smooth case.

研究の動機と目的

• 射影的表面に対してヒルベルト・スケールを用いて、セイバーグ・ワインバーグ理論の代数幾何的類似を構築すること。
• コホモロジーから H^1 の外積代数への写像としてポアンカレ不変量を定義し、変形に対して不変であること。
• p_g(V) = 0 を満たす表面に対してウォール・クロッシング公式を確立し、ルールド面および楕円曲線ファイブレーションに対して不変量を明示的に計算すること。
• 標準的オリエンテーションデータのもとで、ポアンカレ不変量が完全なセイバーグ・ワインバーグ不変量と一致するという予想を提示すること。
• 次数計算により、一般型の最小面に対してその予想を検証すること。

提案手法

• Behrend-Fantechi の形式的枠組みを用いて、滑らかで射影的な多様体上の除数のヒルベルト・スケールに対する相対的障害理論を構築する。
• k が canonical class であるとき、チャウ群 A_{m(m-k)/2}(Hilb^m_V) 内で仮想基本類 [[Hilb^m_V]] を計算する。
• ファイバー積 Hilb^m_V ×_{Pic^m_V} Hilb^{k-m}_V が空集合である場合に、2番目の障害理論を導入し、より高い次数での2番目の仮想類 {Hilb^m_V} を得る。
• 小林・ヒッチンの同型を用いてモノポールのモジュライ空間とヒルベルト・スケールを関連付け、仮想基本類の同定を示唆する。
• ブロー・アップおよびウォール・クロッシングの公式を適用し、一般型の最小面で p_g > 0 かつ q > 0 の場合に deg([[Hilb^k_V]]) = (-1)^{χ(O_V)} を確認することで、予想を帰着させる。
• Porteous の公式およびブライト・ノイマン多様体上の交差論を用いて、ルールド面および楕円曲線ファイブレーションに対して不変量を明示的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト・スケール上の曲線に対して仮想基本類を用いてポアンカレ不変量を定義できるか？
• RQ2 表面の変形の下で、これらの不変量はブロー・アップの公式およびウォール・クロッシングの公式を満たすか？
• RQ3 ポアンカレ不変量は表面の完全なセイバーグ・ワインバーグ不変量と等価か？
• RQ4 ルールド面および楕円曲線ファイブレーションに対して、不変量の明示的形は何か？
• RQ5 一般型の最小面で p_g > 0 かつ q > 0 の場合に、deg([[Hilb^k_V]]) = (-1)^{χ(O_V)} が成り立つか？

主な発見

• 除数のヒルベルト・スケールに対して、仮想基本類 [[Hilb^m_V]] が明示的に構成され、期待される次元 m(m-k)/2 を有する。
• ルールド面に対しては、ポアンカレ不変量がナガタおよびランゲの古典的結果を回復し、既知の幾何学と整合性を確認する。
• 楕円曲線ファイブレーションに対しては、多重ファイバーを用いて不変量が計算され、係数の有界性を持つ除数類の和を含む明示的公式が得られる。
• p_g(V) > 0 であり、かつファイバー積 Hilb^m_V ×_{Pic^m_V} Hilb^{k-m}_V が空集合である場合、仮想基本類 [[Hilb^m_V]] は消える。
• p_g(V) = 0 のとき、2番目の仮想類 {Hilb^m_V} は [[Hilb^m_V]] と一致し、p_g(V) > 0 のとき同じ条件下で消える。
• ポアンカレ不変量が完全なセイバーグ・ワインバーグ不変量と一致するという予想は、p_g > 0 かつ q > 0 の一般型の最小面に対して deg([[Hilb^k_V]]) = (-1)^{χ(O_V)} を確認することで帰着される。