[论文解读] Practical volume computation of structured convex bodies, and an application to modeling portfolio dependencies and financial crises

Ludovic Calès, Apostolos Chalkis+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2018

Market Dynamics and Volatility被引用 9

一句话总结

本文提出高效算法，用于计算结构化凸体的体积——具体为单纯形与平行超平面或同心椭球的交集体积——采用精确与近似方法，包括拒绝采样、带命中-运行的马尔可夫链蒙特卡洛，以及优化的劳伦斯符号分解。主要贡献是通过耦合模型从投资组合收益-波动率依赖关系中推导出一种新型金融危机指标，该指标在真实市场数据中以高精度成功识别出历史危机。

ABSTRACT

We examine volume computation of general-dimensional polytopes and more general convex bodies, defined as the intersection of a simplex by a family of parallel hyperplanes, and another family of parallel hyperplanes or a family of concentric ellipsoids. Such convex bodies appear in modeling and predicting financial crises. The impact of crises on the economy (labor, income, etc.) makes its detection of prime interest. Certain features of dependencies in the markets clearly identify times of turmoil. We describe the relationship between asset characteristics by means of a copula; each characteristic is either a linear or quadratic form of the portfolio components, hence the copula can be constructed by computing volumes of convex bodies. We design and implement practical algorithms in the exact and approximate setting, we experimentally juxtapose them and study the tradeoff of exactness and accuracy for speed. We analyze the following methods in order of increasing generality: rejection sampling relying on uniformly sampling the simplex, which is the fastest approach, but inaccurate for small volumes; exact formulae based on the computation of integrals of probability distribution functions; an optimized Lawrence sign decomposition method, since the polytopes at hand are shown to be simple; Markov chain Monte Carlo algorithms using random walks based on the hit-and-run paradigm generalized to nonlinear convex bodies and relying on new methods for computing a ball enclosed; the latter is experimentally extended to non-convex bodies with very encouraging results. Our C++ software, based on CGAL and Eigen and available on github, is shown to be very effective in up to 100 dimensions. Our results offer novel, effective means of computing portfolio dependencies and an indicator of financial crises, which is shown to correctly identify past crises.

研究动机与目标

• 开发适用于金融建模中出现的结构化凸体体积计算的实用、可扩展算法。
• 利用源自凸体体积的耦合模型，对投资组合收益与波动率之间的时变依赖关系进行建模。
• 基于投资组合在收益-波动率对角线上的分布，设计一种金融危机检测指标。
• 在高维空间（最高达100维）中，评估多种计算方法在准确性、速度和精确性之间的权衡。
• 在真实金融数据上验证所提出的指标，并与既有的危机数据库进行比较。

提出的方法

• 在单纯形上使用拒绝采样进行快速但不精确的体积估计，尤其适用于小体积情况。
• 基于累积分布函数的精确积分公式，用于与单个超平面的交集体积计算。
• 应用针对由单纯形与平行超平面相交形成的简单、结构化多面体而优化的劳伦斯符号分解方法。
• 通过广义锥规划计算内接球以初始化，实现基于广义命中-运行随机游走的马尔可夫链蒙特卡洛方法。
• 将命中-运行方法扩展至非凸体，采用类似的几何技术，获得有前景的实验结果。
• 开发基于CGAL和Eigen的C++软件栈，开源发布于GitHub，支持高达100维的精确与近似体积计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在高维空间（最高达100维）中实现对结构化凸体体积的高效且精确的计算？
• RQ2 不同计算方法——精确法、近似法、基于采样的方法——在速度、准确性和可扩展性方面如何比较？
• RQ3 能否利用源自投资组合收益与波动率约束的凸体体积来建模并检测金融危机？
• RQ4 基于投资组合在收益-波动率对角线上的分布所提出的金融危机指标，能否在真实市场数据中正确识别出历史危机？
• RQ5 命中-运行MCMC方法在多大程度上可扩展至非凸体，同时保持准确性？

主要发现

• 所提出的软件栈在高达100维的空间中实现了实用的体积计算，多种方法均表现出色。
• 拒绝采样速度最快但对小体积最不准确；精确方法在单一切面交集中表现最优。
• 结合二次锥规划计算内接球的命中-运行MCMC方法，即使在复杂非线性凸体上也能实现稳健采样。
• 基于下行对角带与上行对角带中投资组合质量比的金融危机指标，成功识别出1990至2008年间欧洲五次重大危机，包括互联网泡沫和次贷危机。
• 该指标在危机期间持续高于1达60天以上，避免了滚动窗口中短期自相关导致的误报。
• 动量效应（60天复合回报可预测未来60天回报）仅在10次事件中观察到，主要集中于1998–2004年，与危机期重叠极少——这是金融领域的一项新实证发现。