[論文レビュー] Pre-Lie algebras in positive characteristic

Ioannis Dokas|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、正の特性における制限付き pre-Lie 代数を導入し、Jacobson の制限付き Lie 代数に対する定理を一般化する。特筆すべきは、素数特性の体上の任意の dendriform 代数が自然に制限付き pre-Lie 代数構造を備えていることを証明し、Rota-Baxter 代数および準三角代数へと拡張され、制限付き包あらわし dendriform 代数への左随伴関手を構成することで、これらの代数のカテゴリカルな枠組みを確立している。

ABSTRACT

In prime characteristic we introduce the notion of restricted pre-Lie algebras. We prove in the pre-Lie context the analogue to Jacobson's theorem for restricted Lie algebras. In particular, we prove that any dendriform algebra over a field of positive characteristic is a restricted pre-Lie algebra. Thus we obtain that Rota-Baxter algebras and quasitriangular algebras are restricted pre-Lie algebras. Moreover, we prove that the free $Γ(\calligra{preLie})$-algebra is a restricted pre-Lie algebra, where $\calligra{preLie}$ denotes the pre-Lie operad. Finally, we define the notion of restricted enveloping dendriform algebra and we construct a left adjoint functor for the functor $(-)_{p-preLie}: Dend ightarrow p-preLie$.

研究の動機と目的

• 正の特性における pre-Lie の文脈に、制限付き Lie 代数の理論を拡張すること。
• Jacobson の制限付き Lie 代数の一般化として、制限付き pre-Lie 代数を定義すること。
• 正の特性における dendriform 代数、Rota-Baxter 代数、および準三角代数が自然に制限付き pre-Lie 代数であることを確立すること。
• dendriform 代数から制限付き pre-Lie 代数への関手への左随伴関手を構成すること。
• 制限付き包あらわし dendriform 代数を普遍的構成として定義し、特徴づけること。

提案手法

• 制限付き Lie 代数における公理と類似する特定の公理を満たす $p$-写像を備えた pre-Lie 代数として、制限付き pre-Lie 代数の概念を導入する。
• 制限付き pre-Lie 代数から誘導される Lie 代数が制限付き Lie 代数であることを証明し、両者の構造を結びつける。
• 特性 $p \neq 0$ の体上の任意の dendriform 代数が、dendriform 操作によって誘導される pre-Lie 括弧を介して、自然な制限付き pre-Lie 代数構造を備えていることを示す。
• 自由な $\Gamma(\mathcal{preLie})$-代数を構成し、それが制限付き pre-Lie 代数であることを証明する。
• pre-Lie 括弧と $p$-写像の関係を記述する関係式によって生成されるイデアルによる商として、制限付き包あらわし dendriform 代数 $U_p(P)$ を定義する。
• 制限付き pre-Lie 代数から dendriform 代数への関手 $U_p$ を構成し、普遍包あらわし代数の構成を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制限付き Lie 代数の概念を、正の特性における pre-Lie の文脈に自然に拡張できるか？
• RQ2 素数特性の体上の任意の dendriform 代数は、自然な制限付き pre-Lie 代数構造を備えているか？
• RQ3 正の特性における Rota-Baxter 代数および準三角代数は、自然に制限付き pre-Lie 代数であるか？
• RQ4 自由な $\Gamma(\mathcal{preLie})$-代数は制限付き pre-Lie 代数であるか？
• RQ5 普遍的制限付き包あらわし dendriform 代数は存在するか？ そして、dendriform 代数から制限付き pre-Lie 代数への忘却関手への左随伴関手であるか？

主な発見

• 特性 $p \neq 0$ の体上の任意の dendriform 代数は、制限付き pre-Lie 代数である。これは、Jacobson の定理を pre-Lie の文脈に一般化するものである。
• 自由な $\Gamma(\mathcal{preLie})$-代数は制限付き pre-Lie 代数である。これは、operad フレームワークを制限付き構造へと拡張した結果である。
• 正の特性の体上の Rota-Baxter 代数は制限付き pre-Lie 代数である。同様に、準三角 $\epsilon$-bialgebra に対しても同様の性質が成り立つ。
• 単純な Lie 代数 $\mathfrak{sl}(2,k)$ が制限付き pre-Lie 代数構造を備えるのは、$\operatorname{char}(k) = 3$ の場合に限る。これは、既知の pre-Lie 構造に関する結果を拡張するものである。
• 各制限付き pre-Lie 代数にその普遍的制限付き包あらわし dendriform 代数を割り当てる関手 $U_p: p\text{-preLie} \to \text{Dend}$ は、dendriform 代数から制限付き pre-Lie 代数への忘却関手 $(-)_{p\text{-preLie}}$ の左随伴関手である。
• 制限付き包あらわし dendriform 代数 $U_p(P)$ は、$P$ 上の自由 dendriform 代数を、pre-Lie 括弧と $p$-写像の関係式によって生成されるイデアルで割った商として構成され、普遍性が保証される。