[论文解读] Problems 85 and 87 of Birkhoff's "Lattice theory"

Jonathan David Farley, Dominic van der Zypen|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2016

Semantic Web and Ontologies参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文解决了Birkhoff《格论》中的两个长期悬而未决的问题：证明了完全格同态在区间拓扑下是连续的，且构造了一个无限宽度的完全格——具体而言是$2^\omega$——它在区间拓扑下是豪斯多夫空间。关键贡献在于表明，无限宽度并不会妨碍在区间拓扑下的豪斯多夫分离性。

ABSTRACT

We solve problems 85 a(nd 87 from Birkhoff's book "Lattice Theory" (3rd edition)

研究动机与目标

• 为解决Birkhoff问题85，即是否存在完全格同态在星收敛与区间拓扑下连续。
• 回应Birkhoff问题87，即一个具有无限宽度的格是否可能在区间拓扑下是豪斯多夫空间。
• 确立在点态序下，幂集格$2^\omega$具有无限宽度，并且在区间拓扑下是豪斯多夫空间。
• 证明完全同态在完全格之间保持序收敛，并且在区间拓扑下是连续的。
• 通过滤子与子基开集，厘清格论中宽度、拓扑与收敛之间的关系。

提出的方法

• 在偏序集$X$上使用由子基$\{X \setminus \downarrow x, X \setminus \uparrow x \mid x \in X\}$定义的区间拓扑。
• 应用基于滤子的收敛：偏序集$P$上的滤子$\mathcal{F}$在序收敛于$x$当且仅当$\bigwedge \mathcal{F}^u = x = \bigvee \mathcal{F}^\ell$。
• 定义星收敛：若每个$\mathcal{F}$的上滤子都存在一个其超滤子，使得该超滤子序收敛于$x$，则称滤子$\mathcal{F}$星收敛于$x$。
• 证明完全格同态保持序收敛，即当$\mathcal{F} \to x$时，有$f(\mathcal{F}) \to f(x)$。
• 确立积偏序集的区间拓扑与各分量区间拓扑的积拓扑一致。
• 利用$2 = \{0,1\}$在$0 < 1$下是离散且豪斯多夫的性质，因此$2^\omega$在积拓扑下（与其中间拓扑相同）也是豪斯多夫的。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个完全格同态在区间拓扑下是否连续？
• RQ2 每个完全格同态在星收敛下是否连续？
• RQ3 一个具有无限宽度的格是否可能在区间拓扑下是豪斯多夫空间？
• RQ4 $2^\omega$的区间拓扑是否与$2$的区间拓扑的积拓扑一致？
• RQ5 在点态序下，完全格$2^\omega$的宽度是多少？

主要发现

• 完全格同态在区间拓扑下是连续的，因为子基闭集的原像仍是闭集。
• 完全格同态保持序收敛：若$\mathcal{F} \to x$，则$f(\mathcal{F}) \to f(x)$。
• 星收敛在完全同态下被保持，从而确认了问题85第二部分的肯定答案。
• $2^\omega$具有无限宽度，这由集合$\{e_0, \dots, e_n\}$所证明，其中$\inf(F)$无法由大小$\leq n$的任意真子集复制。
• $2^\omega$的区间拓扑是豪斯多夫的，因为它与离散豪斯多夫空间的积拓扑一致。
• 积偏序集的区间拓扑等于其分量区间拓扑的积拓扑，从而确认了$2^\omega$的豪斯多夫性质。