[論文レビュー] Pruning of CRT-sub-trees

Romain Abraham, Jean‐François Delmas+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Lévy木の離散的Galton-Watson部分木に対して、スケルトンに沿っておよびノードの質量に比例するレートで剪定が行われる二パラメータの剪定過程を研究する。主な貢献は、大きさに偏った結合とGirsanov型変換を用いて、上昇時間と爆発時における木の分布を明示的に特徴づけ、超臨界的Lévy木の二つの定義が等価であることを証明することにある。

ABSTRACT

We study the pruning process developed by Abraham and Delmas (2012) on the discrete Galton-Watson sub-trees of the Lévy tree which are obtained by considering the minimal sub-tree connecting the root and leaves chosen uniformly at rate $λ$, see Duquesne and Le Gall (2002). The tree-valued process, as $λ$ increases, has been studied by Duquesne and Winkel (2007). Notice that we have a tree-valued process indexed by two parameters the pruning parameter $θ$ and the intensity $λ$. Our main results are: construction and marginals of the pruning process, representation of the pruning process (forward in time that is as $θ$ increases) and description of the growing process (backward in time that is as $θ$ decreases) and distribution of the ascension time (or explosion time of the backward process) as well as the tree at the ascension time. A by-product of our result is that the super-critical Lévy trees independently introduced by Abraham and Delmas (2012) and Duquesne and Winkel (2007) coincide. This work is also related to the pruning of discrete Galton-Watson trees studied by Abraham, Delmas and He (2012).

研究の動機と目的

• Lévy木の離散的Galton-Watson部分木における剪定過程を、剪定パラメータθと強度λでインデックス化して分析すること。
• θを増加させる方向の時間前方における剪定過程と、θを減少させる方向の時間後方における成長過程を特徴づけること。
• 条件付き測度Pψ,λ下での上昇時間Aλおよび爆発時における木の分布を導出すること。
• 超臨界的Lévy木の二つの独立した構成法が等価であることを、主結果の副産物として確立すること。

提案手法

• τθ(λ) = Tθ ∩ τ0(λ) という二パラメータの木値過程を導入し、ここでτ0(λ)はT0における根とλ-Poisson標本の葉を結ぶ最小部分木を表す。
• Girsanov変換を用いて、Pψ,λ下での剪定過程の分布をP*,ψ下での大きさに偏ったGalton-Watson木の分布と関連付ける。
• 変換された分岐機構ψθ(q) = ψ(q+θ) − ψ(θ)を定義し、これはTθの分布を機械ψθを持つLévy木として特徴づける。
• 分布G*を用いて剪定過程の分布を表現し、ここで根の子孫分布の母関数は1−g′(1)+ug′(u)である。
• 上昇時間Aλの密度fλ(r) = (1/η)(1 − ψ′(r)/ψ′(r̄))1{r∈(θλ,0)} をPψ,λ下で導出する。
• ランダム時間変換Aλ = Uを用い、Uの密度がfλであることを利用し、Pψ,λ下でのS_{Aλ}(λ)がP*,ψ下でのS*_{Ū}(ψ(ηFλ(U)))と同一分布に従うことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 θを増加させる際の剪定過程における上昇時間Aλの分布は何か？
• RQ2 P*,ψ下での大きさに偏ったGalton-Watson木と比較して、上昇時刻Aλにおける木はどのように関係するか？
• RQ3 θを増加させる方向の時間前方における剪定過程τθ(λ)のダイナミクスは何か？
• RQ4 θを減少させる方向の時間後方における成長過程は、大きさに偏った過程とどのように関係するか？
• RQ5 剪定過程による構成法と時間変換Lévy過程による構成法—二つの超臨界的Lévy木の構成法は一致するか？

主な発見

• Pψ,λ下での上昇時間Aλは、(θλ, 0)上に密度fλ(r) = (1/η)(1 − ψ′(r)/ψ′(r̄)) を持つ分布に従う。ここでη = ψ−1(λ)である。
• Pψ,λ下での上昇時刻における剪定過程の分布、S_{Aλ}(λ) は、Uの密度がfλであるとき、P*,ψ下でのS*_{Ū}(ψ(ηFλ(U)))と同一分布に従う。
• Aλとτ_{Aλ}(λ)の同時分布は、P*,ψ下での前方過程との大きさに偏った結合を用いて特徴づけられる。
• θを減少させる方向の時間後方過程(τθ(λ), θ decreasing)は、P*,ψ下での大きさに偏った過程S*_{θ}(λ)の時間変換版である。
• 超臨界的Lévy木の二つの構成法—[2]における剪定過程によるものと、[14]におけるλ増加部分木によるもの—は等価である。
• Girsanov型変換は、元の剪定過程と大きさに偏ったGalton-Watsonモデルを結ぶマルティンゲール的測度変換を提供する。