[論文レビュー] Pseudoautomorphisms with invariant elliptic curves

Eric Bedford, Jeffery Diller+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、不変曲線に沿った吹き上げを通じて有理的複素多様体上の双有理写像を上げることで、楕円曲線を保存する明示的な擬自己同型を構成する。コックスター群の作用と力学的次数の解析を用い、特に無限反射群におけるコックスター元に対応する場合に、正のエントロピーと不変な有理曲線または楕円曲線を持つ自己同型を与える閉形式の行列式公式を提示する。

ABSTRACT

We describe an explicit method for constructing pseudo-automorphisms of a space $X$ which is obtained by blowing up points of $P^k$ (or a product $P^k imes \cdots imes P^k$). The centers of blowup are chosen to lie on an elliptic normal curve and are determined using the arithmetic on the curve. These pseudo-automorphism have dynamical degree greater than $1$.

研究の動機と目的

• 有理的複素多様体上に不変な楕円曲線をもつ擬自己同型の存在に関する明示的・構成的アプローチを提供すること。
• ペローニとチャンの先行研究を拡張し、このような写像の明示的公式を提示すること。
• 写像のピカール群および交差形式への作用を通じて、これらの写像の力学的性質を同定すること。
• 無限反射群におけるコックスター元が、特に単純かつ対称的な擬自己同型を生じることを示すこと。

提案手法

• 不変曲線に沿った点の吹き上げを通じて、P² 上の双有理写像を P² の吹き上げ上の自己同型に上げる。
• ピカール格子上のコックスター群構造を用いて、固定された楕円曲線を保存する自己同型を定義する。
• 力学的次数 δ を用い、これはサレム数のガロア共役である。δ をパrameterとして用いることで、正のエントロピーを保証する。
• 再帰関係と対称関数を用いて、多射影空間における自己同型の明示的行列式公式を導出する。
• 巡回置換と k+1 で割り切れる軌道長を満たす軌道データを課し、コックスター元と整合性を保つ。
• (P^k)^m 上に写像を構成し、δ と m から導かれるパrameterを用いた成分ごとの線形変換を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理多様体上に不変な楕円曲線をもつ擬自己同型について、明示的な公式を導出できるか？
• RQ2 ピカール格子上のコックスター群作用は、このような自己同型の存在とどのように関係するか？
• RQ3 力学的次数 δ は、正のエントロピーと代数的安定性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 反射群におけるコックスター元が、不変曲線をもつ擬自己同型を生じる条件は何か？
• RQ5 特異曲線および不定点の軌道構造は、このような写像を構成するためにどのように利用できるか？

主な発見

• 本稿は、定理4.7および定理6.4で、特に写像がコックスター元に対応する場合に、擬自己同型の明示的行列式公式を提示する。
• パrameter t_j^+ は、δ、k、および軌道長を用いて閉形式で導出され、すべての吹き上げられた点が相異なることを保証する。
• n ≥ 8 のとき、F^n(Σ₂) = e₀ が成り立つ。これは正のエントロピーを保証し、吹き上げられた曲面上に自己同型に引き上げられることを意味する。
• Pic(X) 上の作用は、ローレンツ格子上で作用するコックスター群の等長写像として実現され、楕円曲線は誘導された作用で不変に保たれる。
• この構成は多射影空間 (P^k)^m に一般化可能であり、写像 f = L∘J は軌道データ {(1,…,1,n(k+1)), σ} を持つ。ここで σ は巡回的である。
• P^k 内の共点直線に対して、得られる擬自己同型は T 型ディンキン図形のコックスター元を実現し、行列成分は α、m、j でパラメータ化される。