[論文レビュー] Quadratic Functions of Cocycles and Pin Structures

G. W. Brumfiel, John Morgan|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、コンパクトな三角形分割された多様体上のPinおよびSpin構造を、相対的$(n-1)$-コサイクル上の${\mathbb{Z}}/4$-値の二次関数を用いた組み合わせ的特徴づけを提供する。この関数は、スティーロード$∪_i$積および$Sq^2$作用素を含む特定の条件を満たす。主な結果として、同値類としてのPin構造とこのような二次関数との間の自然な全単射が確立され、向き付け可能な場合に${\mathbb{Z}}/2$値に拡張される。この枠組みはホモトピー的および単体的細分に関して不変であり、 bordism理論および拡張型TQFTと関連している。

ABSTRACT

We construct a natural bijective correspondence between equivalence classes of Pin$^-$ structures on a compact simplicial $n$-manifold $M^n$, possibly with boundary, and $\mathbb{Z}/4$-valued 'quadratic functions' $Q$ defined on degree $n-1$ relative $\mathbb{Z}/2$ cocycles, $Q \colon Z^{n-1}(M^n, \partial M^n ; \mathbb{Z} /2) o \mathbb{Z}/4$. The 'quadratic' property of $Q(p+q)$ and the values $Q(dc)$ on coboundaries are expressed in terms of higher $\cup_i$ products of Steenrod. For $n = 2$ the results extend old results relating Pin$^-$ structures on closed surfaces to quadratic refinements of the cup product pairing on $H^1(M^n ; \mathbb{Z} /2)$. In the oriented case, that is, for Spin manifolds, the results extend results of Kapustin, see arXiv:1505.05856v2, and results in our previous paper on the Pontrjagin dual 4-dimensional Spin bordism, see arXiv:1803.08147. The extension of those results to Pin$^-$ manifolds in this paper required a different approach, involving some stable homotopy theory of Postnikov towers.

研究の動機と目的

• 三角形分割された多様体上のPinおよびSpin構造を、コサイクル上の二次関数を用いた完全に組み合わせ的かつコhomologicalな特徴づけを提供すること。
• 同値類としてのPin構造と、スティーロード積の条件を満たす特定の${\mathbb{Z}}/4$-値二次関数との間の自然な全単写像を確立すること。
• このような二次関数が存在するための必要十分条件が、$v_2(M)$の消えること、すなわちPin構造の存在に必要な十分条件であることを示すこと。
• コチェーンのスパイラルおよびバーチカル分割を用いて、ホモトピー不変性および単体的構造の選択に依存しない性質を示すこと。
• 相対的コボルディズムおよび関手的性質を通じて、この構成をbordism理論および拡張型トポロジカル量子場理論（TQFT）と結びつけること。

提案手法

• 相対的$(n-1)$-コサイクル上の二次関数$Q: Z^{n-1}(M,\partial M; \mathbb{Z}/2) \to \mathbb{Z}/4$を定義し、$Q(p+q) = Q(p) + Q(q) + 2\int_{[M,\partial M]} p \cup_{n-2} q$を満たすようにする。
• 整合性を保つために、$Q(dc) = 2\int_{[M,\partial M]} Sq^2 c = 2\int (c \cup_{n-4} c + c \cup_{n-3} dc)$という条件を課す。
• コチェーンのスパイラル$s_0$および$s_1$を用いて、$M$から$I \times M$への二次関数の拡張を定義し、$M$およびシリンダー上の二次関数の間の同値性を確立する。
• $G_n^{\text{pin}}(X)$および$G_n^{\text{spin}}(X)$の分類空間をモデル化するため、単体的2段階のポストニコフスペクトル$E^{\text{pin}}$および$E^{\text{spin}}$を構成する。
• 反復的なバーチカル分割および引き戻しを用いて、二次関数の割り当てがホモトピーおよび単体的細分に関して不変であることを証明する。
• 二次関数とその相対的コボルディズムとの間の関手的対応を確立し、組み合わせ的コボルディズムホモロジー理論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三角形分割された多様体上のPin構造は、コサイクルおよびコhomology作用素を用いてどのように組み合わせ的に特徴づけられるか？
• RQ2 相対的$(n-1)$-コサイクル上の${\mathbb{Z}}/4$-値関数がPin構造に対応するためには、どのような条件を満たす必要があるか？
• RQ3 このような二次関数の存在は、$v_2(M)$の消えることとどのように関係しているか？
• RQ4 コチェーンのスパイラルおよびバーチカル分割を用いて、このような二次関数の定義が単体的構造の選択に依存しないようにできるか、もし可能ならその方法は何か？
• RQ5 これらの二次関数は、bordism理論および拡張型TQFTとどのように関係しているか？

主な発見

• コンパクトな三角形分割された$n$-次元多様体$M$上のPin構造の同値類は、${\mathbb{Z}}/4$-値二次関数$Q$と自然な全単射で対応する。ここで$Q$は$Z^{n-1}(M,\partial M; \mathbb{Z}/2)$上で定義され、$Q(p+q) = Q(p) + Q(q) + 2\int p \cup_{n-2} q$および$Q(dc) = 2\int Sq^2 c$を満たす。
• このような二次関数が存在するための必要十分条件は、$v_2(M) = 0$であることである。これはPin構造の存在に必要な十分条件である。
• 向き付け可能な多様体では、二次関数の値は$2(\mathbb{Z}/2) \subset \mathbb{Z}/4$に値をとり、${\mathbb{Z}}/2$-値関数に還元される。この関数は類似の条件を満たし、Spin構造に対応する。
• 順序付き単体的構造の選択に依存しない：同値な二次関数は、$a \in H^1(M; \mathbb{Z}/2)$を用いて$Q'(p) = Q(p) + 2\langle p \cdot a, [M,\partial M] \rangle$の形の線形関数によって関係づけられる。
• 多様体$M$上の二次関数は、コチェーンのスパイラルによって$I \times M$に一意に拡張可能であり、端面への制限により元の関数が回復される。これによりホモトピー不変な対応が確立される。
• この理論は、組み合わせ的コボルディズムホモロジー理論を支える。$G_n^{\text{pin}}(X)$および$G_n^{\text{spin}}(X)$は単体的ポストニコフスペクトルによってモデル化され、$M$が滑らかであれば、得られるコボルディズム理論は古典的なPinおよびSpinコボルディズム理論と一致する。