[論文レビュー] Quantum algorithm for the Navier Stokes equations by using the streamfunction vorticity formulation and the lattice Boltzmann method

Ljubomir Budinski|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2021

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 44被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、NISQデバイス上で2次元ナビエ-ストークス方程式を解くための新しい量子アルゴリズムを提示している。流関数-渦度形式と格子ボルツマン法（LBM）を用い、LBMを初期化、衝突、伝播、境界条件、および巨視的変数の計算という量子ステップに分解することで、標準形符号化と量子ウォークを用い、2次元キャビティ流れにおいて古典的シミュレーションと正確に一致する結果を得た。

ABSTRACT

A new algorithm for solving the Navier-Stokes equations (NSE) on a quantum device is presented. For the fluid flow equations the stream function-vorticity formulation is adopted, while the lattice Boltzmann method (LBM) is utilized for solving the corresponding system of equations numerically for one time step. Following the nature of the lattice Boltzmann method, the proposed quantum algorithm consists of five major sections: initialization, collision, propagation, boundary condition implementation, and calculation of macroscopic quantities. The collision and boundary condition step is quantumly implemented by applying the standard-form encoding approach, while the quantum walk procedure is applied for the propagation step. The algorithm is implemented by using IBM's quantum computing software development framework Qiskit, while for the verification purposes two-dimensional (2D) cavity flow is simulated and compared with classical code.

研究の動機と目的

• 近い将来の量子デバイス上でナビエ-ストークス方程式を解くための量子アルゴリズムを開発すること。
• 流体動力学の量子シミュレーションにおける数値的安定性と効率を高めるために、格子ボルツマン法（LBM）を活用すること。
• LBMのステップ（衝突、伝播、境界条件、巨視的変数の計算）を量子回路を用いて実装すること。
• ベンチマークとしての流体流れ問題に対して、量子アルゴリズムの古典的シミュレーションとの整合性を検証すること。
• 特に状態準備と測定のオーバーヘッドに起因する、量子アルゴリズムの効率における主なボトルネックを特定し、それらを是正すること。

提案手法

• ナビエ-ストークス方程式を流関数-渦度アプローチを用いて再定式化し、連立偏微分方程式のセットに簡略化する。
• 1タイムステップのための離散化に、D2Q5格子構成を用いた格子ボルツマン法（LBM）を用いる。
• 量子アルゴリズムはLBMの5つのステップ（初期化、衝突、伝播、境界条件の適用、巨視的量の計算）を実装する。
• 衝突および境界条件ステップは、標準形符号化と制御ユニタリ操作を用いて実装される。
• 伝播ステップは、マルチコントロールドXゲートを用いた量子ウォーク手順によって実現される。
• アルゴリズムは、16×16格子を用いた2次元キャビティ流れのシミュレーションに対して、IBMのQiskitフレームワークを用いて実装および検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 格子ボルツマン法は、ナビエ-ストークス方程式を解くための量子アルゴリズムに効果的に適応可能か？
• RQ2 ナビエ-ストークス方程式が記述する非線形流体力学を、安定的かつ効率的な数値フレームワークを用いて、量子コンピュータ上で符号化・シミュレートすることは可能か？
• RQ3 各LBMステップの量子回路の複雑さ、特にCNOTおよびマルチコントロールドゲートの数の観点から、どのように評価できるか？
• RQ4 ベンチマーク用の2次元キャビティ流れ問題において、量子シミュレーションの結果は古典的解とどのように一致するか？
• RQ5 現在の量子アルゴリズム設計における主なスケーラビリティと効率のボトルネックは何か？

主な発見

• 量子アルゴリズムは、渦度の等高線および速度の大きさについて、量子的・古典的結果が完全に一致する2次元キャビティ流れ問題を正確にシミュレートした。
• 状態準備ステップの総CNOT数は、O(2^n)に比例し、これが複雑さの主因である。
• 衝突および境界条件ステップは、系のサイズに対してO(1)に比例し、これらのコンponentsのオーバーヘッドが低いことが示された。
• 伝播ステップは、1つの演算子あたりO(n)のマルチコントロールドXゲートを必要とし、4つのRおよび4つのL演算子のため、1つの追加キュービットあたり8つのゲートが必要となる。
• 巨視的変数の計算ステップは、入力サイズに依存せず、追加ゲートを一切必要とせず、O(1)に比例する。
• 測定後の量子状態の崩壊に起因し、1タイムステップあたり2^2n回のシミュレーションを繰り返す必要があることが、主な効率的ボトルネックとして特定された。