[論文レビュー] Quantum communication complexity of block-composed functions

Yaoyun Shi, Yufan Zhu|ArXiv.org|Sep 29, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ブロック構成関数に対して適用可能な、量子通信複雑性の新たな下界手法を紹介する。この手法は、対称関数 $ f_n $ と '構築ブロック' 関数 $ g_k $ を用いて $ n $ ブロックにわたって合成された総称ブール関数に対して有効である。この手法により、$ g_k $ が十分に困難な場合、合成関数の量子通信複雑性と古典的通信複雑性が多項式的に関係することを示し、対称述語にとどまらない広範な関数クラスにおいて、対数等価性予想を証明する。応用例として、内積関数と一様性関数が挙げられる。

ABSTRACT

A major open problem in communication complexity is whether or not quantum protocols can be exponentially more efficient than classical protocols on _total_ Boolean functions in the two-party interactive model. The answer appears to be ``No''. In 2002, Razborov proved this conjecture for so far the most general class of functions F(x, y) = f(x_1 * y_1, x_2 * y_2, ..., x_n * y_n), where f is a_symmetric_ Boolean function on n Boolean inputs, and x_i, y_i are the i'th bit of x and y, respectively. His elegant proof critically depends on the symmetry of f. We develop a lower-bound method that does not require symmetry and prove the conjecture for a broader class of functions. Each of those functions F(x, y) is obtained by what we call the ``block-composition'' of a ``building block'' g : {0, 1}^k by {0, 1}^k --> {0, 1}, with an f : {0, 1}^n -->{0, 1}, such that F(x, y) = f(g(x_1, y_1), g(x_2, y_2), ..., g(x_n, y_n)), where x_i and y_i are the i'th k-bit block of x and y, respectively. We show that as long as g itself is ``hard'' enough, its block-composition with an_arbitrary_ f has polynomially related quantum and classical communication complexities. Our approach gives an alternative proof for Razborov's result (albeit with a slightly weaker parameter), and establishes new quantum lower bounds. For example, when g is the Inner Product function for k=Ω(\log n), the_deterministic_ communication complexity of its block-composition with_any_ f is asymptotically at most the quantum complexity to the power of 7.

研究の動機と目的

• 2人パーティのインタラクティブモデルにおいて、量子プロトコルが全ブール関数に対して古典的プロトコルを指数的に上回る可能性があるかどうかという未解決問題を解消すること。
• 対称述語に限定されたラズボロフの結果を、合成関数に対称性の要件を課さない形に拡張すること。
• 任意のブロック構成関数 $ F(x,y) = f_n(g_k(x_1,y_1), \dots, g_k(x_n,y_n)) $ に適用可能な一般化された下界技術を開発すること、ここで $ g_k $ は困難な構築ブロックである。
• このような関数について、量子と古典的通信複雑性の多項式的関係を確立し、対数等価性予想を支持すること。

提案手法

• 行列近似のスペクトル解析に基づく新しい下界手法を提案し、入力分布に関連する密度行列の差のトレースノルムに注目する。
• 近似次数の双対形式（補題3.1）を用いて、弱い下界を強力な量子下界に拡大し、ディスジョイニネス関数のような関数の難易度拡大を可能にする。
• 構築ブロック $ g_k $ から導かれる局所行列 $ \mu_0 $ と $ \mu_1 $ のテンソル積を用いて、証拠行列を構築し、合成関数の近似次数を抑え込む。
• 三角不等式と固有値分解を適用して、証拠行列のトレースノルムを制御し、ブロック数 $ n $ に従って増大することを保証する。
• ラズボロフの元々の証明とは異なり、ハーン多項式やスペクトル対称性に依存しないことにより、対称関数を超える一般化を実現する。
• 構築ブロック $ g_k $ が内積関数で $ k = \Omega(\log n) $ の場合、決定的複雑性が量子複雑性の7乗以下であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2人パーティのインタラクティブモデルにおいて、全ブール関数の量子通信複雑性が、古典的複雑性よりも指数的に小さくなることはあり得るか？
• RQ2 量子と古典的通信複雑性が多項式的に関係することを示す対数等価性予想は、非対称関数に対しても成り立つか？
• RQ3 合成関数に対称性の仮定を課さずに、強力な下界を導く下界手法を開発できるか？
• RQ4 構築ブロック $ g_k $ にどのような条件を課すと、合成関数 $ f_n \Box g_k $ の量子と古典的複雑性が多項式的に関係するようになるか？
• RQ5 近似次数の双対形式を用いて、$ g_k $ の弱い下界を強力な量子下界に拡大できるか？

主な発見

• 任意のブロック構成関数 $ F(x,y) = f_n(g_k(x_1,y_1), \dots, g_k(x_n,y_n)) $ に対して、$ g_k $ が十分に困難な場合、$ D(F) = O(Q(F)^7) $ が成り立ち、決定的複雑性と量子複雑性の多項式的関係を示す。
• 構築ブロック $ g_k $ が内積関数で $ k = \Omega(\log n) $ の場合、$ F $ の決定的通信複雑性は、量子複雑性の7乗以下である。
• 本手法は、対称述語に対してラズボロフの結果を代替的に証明するが、やや弱いパラメータとなる。ただし、ハーン多項式や完全なスペクトル分解に依存しない。
• 本手法により、$ Q(\textsc{DISJ}_n) = \Omega(n^{1/3}) $ が導かれる。これは、弱い下界 $ \rho(\textsc{DISJ}_k) = O(1/k) $ を近似次数の双対形式を用いて難易度拡大することで得られる。
• 関数 $ g_k^0(x, (i,b)) = x_i + b $ の場合、本手法はシェルストフの結果 $ Q(f_n \Box g_k^0) = \Omega(\widetilde{\textrm{deg}}(f_n)) $ を再現し、既知の強い境界と整合していることを示す。
• 本手法は対称関数を超えて一般化可能であり、同一でないか非対称な構築ブロックへも拡張可能であるため、対数等価性予想への広範な適用可能性を示唆する。