[論文レビュー] Quantum Fields on Causal Sets

Steven Johnston|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2010

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 78被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、因果的集合（causal sets）上に離散的量子場理論を構築するために、スカラー場のフェ Feynman propagator の因果的集合版を構成する。パス積分モデルを用い、因果的チェーン（経路）に振幅を割り当てることで実現される。1+1次元および3+1次元のミンコフスキー時空において、連続的 Klein-Gordon propagator と一致することを示し、離散的因果的集合ダイナミクスと連続的量子場理論との間に一貫性を確立する。

ABSTRACT

Causal set theory provides a model of discrete spacetime in which spacetime events are represented by elements of a causal set---a locally finite, partially ordered set in which the partial order represents the causal relationships between events. The work presented here describes a model for matter on a causal set, specifically a theory of quantum scalar fields on a causal set spacetime background. The work starts with a discrete path integral model for particles on a causal set. Here quantum mechanical amplitudes are assigned to trajectories within the causal set. By summing these over all trajectories between two spacetime events we obtain a causal set particle propagator. With a suitable choice of amplitudes this is shown to agree (in an appropriate sense) with the retarded propagator for the Klein-Gordon equation in Minkowski spacetime. This causal set propagator is then used to define a causal set analogue of the Pauli-Jordan function that appears in continuum quantum field theories. A quantum scalar field is then modelled by an algebra of operators which satisfy three simple conditions (including a bosonic commutation rule). Defining time-ordering through a linear extension of the causal set these field operators are used to define a causal set Feynman propagator. Evidence is presented which shows agreement (in a suitable sense) between the causal set Feynman propagator and the continuum Feynman propagator for the Klein-Gordon equation in Minkowski spacetime. The Feynman propagator is obtained using the eigendecomposition of the Pauli-Jordan function, a method which can also be applied in continuum-based theories. The free field theory is extended to include interacting scalar fields. This leads to a suggestion for a non-perturbative S-matrix on a causal set. Models for continuum-based phenomenology and spin-half particles on a causal set are also presented.

研究の動機と目的

• 因果的集合時空背景における量子スカラー場の整合的モデルを構築し、因果的構造と離散的時空対称性を保存すること。
• 因果的集合のフェインマン propagator の類似物を構築することで、離散的因果的集合理論と連続的量子場理論を橋渡しすること。
• 自由理論を相互作用場へと拡張し、因果的集合上に非摂動的 S行列形式を提案すること。
• 固有値分解およびパス積分法を用いて、ミンコフスキー時空における離散的および連続的 propagator の間の定量的一致を確立すること。

提案手法

• 因果的集合内の因果的チェーン（軌道）に量子力学的振幅を割り当て、離散的パス積分モデルを構築する。
• 二つの事象間を結ぶすべての因果的チェーンの和として、因果的集合粒子 propagator を定義する。振幅はミンコフスキー時空における遅延 propagator を再現するように選ぶ。
• 離散的 d’Alembertian 演算子の固有値分解を用いて、因果的集合におけるパウリ＝ジョルダン関数の類似物を構築する。
• 因果的集合の部分順序の線形拡張を用いて、ボソン的交換関係と時序化を満たす場演算子を定義する。
• パウリ＝ジョルダン関数の固有値分解を用いて、連続的法と類似する方法で因果的集合フェインマン propagator を導出する。
• 摂動的 Dyson 級数を用いて自由理論を相互作用スカラー場へと拡張し、U 演算子による非摂動的 S 行列作用素を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 因果的集合上での離散的パス積分モデルは、ミンコフスキー時空における Klein-Gordon 方程式の遅延 propagator を再現できるか？
• RQ2 離散的演算子を用いて、因果的集合上でのパウリ＝ジョルダン関数およびフェインマン propagator を一貫的に定義できるか？
• RQ3 因果的集合フェインマン propagator は、1+1次元および3+1次元で、連続的フェインマン propagator にどの程度収束するか？
• RQ4 演算子論的手法を用いて、因果的集合上に非摂動的 S 行列を定式化できるか？
• RQ5 無限密度極限において、因果的集合 d’Alembertian と連続的 d’Alembertian の関係は何か？

主な発見

• 適切な振幅を有する因果的チェーンの和として導かれた因果的集合粒子 propagator は、1+1次元および3+1次元のミンコフスキー時空において、Klein-Gordon 方程式の遅延 propagator を再現する。
• 1+1次元では、因果的集合フェインマン propagator が方程式 $\left(\Box + 2\rho(1 + \rho \frac{\partial}{\partial \rho}) \right)P_n = 2\rho P_{n-1}$ を満たし、連続的極限と一致する。
• 3+1次元では、遅延 propagator に因果的集合 d’Alembertian を作用させると $\Box^2 P = 8\pi \delta - 8\pi \rho \frac{1}{6}(2H+1)(2H+2)(2H+3)P$ が得られ、Benincasa と Dowker の研究と整合的である。
• パスの期待数の母関数 $P_T(z)$ は、$\rho$、$z$、および d’Alembertian を含む偏微分方程式を満たし、パス統計の計算への道筋を提供する。
• 無限密度極限（$\rho \to \infty$）において、因果的集合フェインマン propagator は連続的フェインマン propagator に収束し、$\lim_{\rho \to \infty} \Box K_R = \delta$ により示された。
• 驚くべきことに、本研究と Benincasa と Dowker (2010) の間には一貫性が確認され、$\Box^2 K_R = \bar{B}$ が成り立つ。ここで $\bar{B}$ は因果的集合 d’Alembertian 核である。これは連続的極限における相互適合性を確認する。