[論文レビュー] Quasi-Total Orders and Translation Numbers

Gabi Ben Simon, Tobias Hartnick|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ポincare–Ghysの移動数構成を一般化する、群上の双不変部分順序である準全順序を導入する。同定は、一様な擬準同型と準全順序の成長関数の間の一対一対応を確立し、群が非自明な一様擬準同型をもつことと、その群がこのような順序を用いて半順序集合に非自明に作用することとは同値であることを証明する。主たる貢献は、無限次元群にまで適用可能な、コhomologyに依存しない擬準同型存在の特徴付けを提供することにある。

ABSTRACT

We show that a group admits a non-zero homogeneous quasimorphism if and only if it admits a certain type of action on a poset. Our proof is based on a construction of quasimorphisms which generalizes Poincaré--Ghys' construction of the classical translation number quasimorphism. We then develop a correspondence between quasimorphisms and actions on posets, which allows us to translate properties of orders into properties of quasimorphisms and vice versa. Concerning examples we obtain new realizations of the Rademacher quasimorphism, certain Brooks type quasimorphisms, the Dehornoy floor quasimorphism as well as Guichardet-Wigner quasimorphisms on simple Hermitian Lie groups of tube type. The latter we relate to Kaneyuki causal structures on Shilov boundaries, following an idea by Clerc and Koufany. As applications we characterize those quasimorphisms which arise from circle actions, and subgroups of Hermitian Lie groups with vanishing Guichardet-Wigner quasimorphisms.

研究の動機と目的

• 双不変部分順序の成長関数が非ゼロの一様擬準同型を与えるような、そのような順序を特徴付ける未解決問題を解くこと。
• 新種の順序である準全順序を用いて、一様擬準同型と半順序集合への作用との完全な対応関係を確立すること。
• 局所コンパクトでも第二可算でもない群に対しても適用可能な、非自明な擬準同型をもつ群のコhomologyに依存しない特徴付けを提供すること。
• ラデマッハ、ブルックス、ドゥルマンの床関数、ギュイシャルデット＝ウィグナーの擬準同型といった既知の構成を統一・一般化すること。
• ヘルミートリー群におけるケイニユキ因果的構造と、擬準同型理論を結びつけること。

提案手法

• 群上の双不変部分順序の特別なクラスとして、順序半群上の優位性条件を満たす準全順序を定義する。
• 準全順序の移動数を、γ(g,h) = limₙ→∞ inf{p ∈ ℤ | gᵖ ≥ hⁿ}/n として定義し、これが一様擬準同型であることを示す。
• 準全順序と一様擬準同型との間の標準的対応を構築し、すべての非ゼロ擬準同型がそのような成長関数の正の倍数として現れることを証明する。
• 平面埋め込みと多様体の因果的被覆を用いて滑らかな準全順序三つ組を実現し、幾何的構造と擬準同型の構成を結びつける。
• リー群への応用として、筒型の単純ヘルミートリー群におけるギュイシャルデット＝ウィグナー擬準同型が、シロフ境界上のケイニユキ因果的構造を通じて実現されることを示す。
• 一様正の1形式と、錐多様体上の因果的被覆を用いて、グローバルな因果的性質と準全順序性の基準を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群上のどの双不変部分順序が、その成長関数によって一様擬準同型を導くか？
• RQ2 すべての非ゼロ一様擬準同型は、群上のある準全順序の成長関数として実現可能か？
• RQ3 順序の位相的・幾何的性質（例えばグローバルな因果的性質）は、対応する擬準同型にどのように影響を与えるか？
• RQ4 全三つ組の文脈において、円周作用と円周的擬準同型の関係は何か？
• RQ5 ヘルミートリー群の同次空間における因果的構造は、擬準同型の構成と分類にどのように利用できるか？

主な発見

• 群が非ゼロの一様擬準同型をもつことと、その群が非自明な準全順序を用いて半順序集合に作用することとは同値である。
• 任意の準全順序の成長関数は一様擬準同型であり、すべての非ゼロ一様擬準同型はそのような成長関数の正の倍数として現れる。
• この構成は、ポincare–Ghysの移動数を一般化し、PSL₂(ℤ)におけるラデマッハ擬準同型や自由群におけるブルックス型擬準同型を回復する。
• 筒型の単純ヘルミートリー群におけるギュイシャルデット＝ウィグナー擬準同型は、因果的被覆とシロフ境界上のケイニユキ構造を通じて実現される。
• この理論は、コhomologyに依存しない擬準同型存在の特徴付けを提供し、局所コンパクトでも第二可算でもない群に対しても成立する。
• 準全順序のグローバルな因果的性質は、関連する錐多様体上に一様正の1形式が存在することと同値である。