[論文レビュー] Questions on provisional Coulomb branches of $3$-dimensional $\mathcal N=4$ gauge theories

Hiraku Nakajima|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、3次元 $σ=4$ ゲージ理論における一時的クーロン分岐の基礎的性質を調査し、シンプレクティック双対性およびレベルランク双対性を介したヒッグス分岐との双対性に焦点を当てる。キーブリッジ多様体と幾何学的不変量理論を用いて、特異点と層構造を分析し、クーロン分岐とヒッグス分岐が、片方が点で他方が特異的であっても非自明な双対性を示す可能性があることを示している。主な例では、非連結な層構造と非自明な横断的スライスが明らかになった。

ABSTRACT

This is a supplement to [arXiv:1503.03676], where an approach towards a mathematically rigorous definition of the Coulomb branch of a $3$-dimensional $\mathcal N=4$ SUSY gauge theory was proposed. We ask questions on their expected properties, especially in relation to the corresponding Higgs branch, partly motivated by the interpretation of the level rank duality in terms of quiver varieties [arXiv:0809.2605] and the symplectic duality [arXiv:1407.0964]. We study questions in a few examples.

研究の動機と目的

• 3次元 $σ=4$ ゲージ理論における一時的クーロン分岐の期待される幾何学的および表現論的性質を調査すること。
• 特にシンプレクティック双対性およびレベルランク双対性に関連して、クーロン分岐とヒッグス分岐の双対性を調査すること。
• キーブリッジ多様体からの例を用いて、クーロン分岐およびヒッグス分岐の層構造と特異点の構造を検討すること。
• ヒッグス分岐における特異的層が、他のゲージ理論のヒッグス分岐として実現可能かどうかを特定すること。同様にクーロン分岐に対しても同様の問いを検討すること。
• 特に非連結な層構造を示す場合に、横断的スライスと部分理論のクーロン／ヒッグス分岐との関係を明確にすること。

提案手法

• シフトされたシンプレクティック幾何学および消滅サイクルの枠組みを用いて、モーメント写像方程式の解のモジュライ空間としてクーロン分岐を定義・研究する。
• 幾何学的不変量理論（GIT）商を用いて、クーロン分岐を $μ^{-1}(0)/ / /G$ として構成し、安定性および特異点を分析する。
• アフィン型Aキーブリッジ多様体のケースを分析し、ヒッグス分岐およびクーロン分岐が両方キーブリッジ多様体であることに注目し、I. フレネルのレベルランク双対性と関連付ける。
• 商空間における層構造の構造を分析し、特に安定化子が自明である場合、または $i$ と $j$ が両方ともランク1である場合に特異点集合が生じることを検討する。
• 特異点における横断的スライスを検討し、より単純なゲージ理論のクーロン分岐およびヒッグス分岐と比較する。
• 表現論およびコーゾュール双対性を用いて、双対なシンプレクティック多様体に関連する圏 $Ω$ と $Ω^!$ を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲージ理論のヒッグス分岐の層が、自然に他のゲージ理論のヒッグス分岐として特定可能か、特に層が非連結である場合にそうなるか？
• RQ2 クーロン分岐における特異点への横断的スライスが、より単純なゲージ理論のクーロン分岐と同型であるか？
• RQ3 片方が点で他方が特異的である場合、シンプレクティック双対性はヒッグス分岐とクーロン分岐をどのように関連付けるか？
• RQ4 非孤立固定点を含む場合に、クーロン分岐の層が、対応するヒッグス分岐の構造をどの程度反映するか？
• RQ5 コーゾュール双対性 $Ω$ と $Ω^!$ が、これらの例におけるヒッグス＝クーロン双対性を通じて幾何学的に実現可能か？

主な発見

• 3次元 $σ=4$ ゲージ理論のクーロン分岐は、ヒッグス分岐が点であっても非自明であることが示され、双対性における根本的な非対称性を示している。
• N=2 の場合、ヒッグス分岐には3つの層がある：滑らかな局所と2つの特異点で、特異点は $A_1$ 特異点に対応する。
• 層 $(\mathbf{M}/\!\!/\!/G)_{\{e\}}$ は非連結である可能性があり、N=2 の場合に2つの成分を持つ。これは層が連結でなくてもよいことを示している。
• N=2 の場合、ヒッグス分岐の各特異点における横断的スライスは自明であり、$\{0\}/\{e\}$ に同型である。これは自明なゲージ理論のクーロン分岐に対応する。
• $A_1$ 特異点のヒッグス分岐は、自明なゲージ理論のクーロン分岐に同型であり、特異点と自明な理論との間の双対性を示唆している。
• 本稿では、$D_N$ 型特異点に対して $H\!P_0(\mathcal{M}_C)$ と $I\!H^*(\mathcal{M}_C)$ を計算可能であるが、$I\!H^*(\mathcal{M}_H)$ と $H\!P_0(\mathcal{M}_H)$ は未解決のままである。