[論文レビュー] Random ordering formula for sofic and Rokhlin entropy of Gibbs measures

Andrei Alpeev|arXiv (Cornell University)|May 23, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ドゥブリーシンの一意性条件を満たす場合、またはギブズ測度が一意的かつ吸引的である場合に、シフト作用のソフィックおよびロフリン・エントロピーについて明示的な公式を確立する。ランダム順序付け技術とセルワのロフリン・エントロピーに対する上界を用いて、ソフィック・エントロピーがソフィック近似に依存せず、期待条件エントロピー $\mathbb{E}_{\xi}H(\alpha|\alpha^{L_{\xi}})$ で与えられるロフリン・エントロピーと等しくなることを証明する。この結果は、上臨界イジング模型などのモデルに適用可能であり、$f$-不変量によるギブズ測度の一意性の基準を提供する。

ABSTRACT

We prove the explicit formula for sofic and Rokhlin entropy of actions arising from some class of Gibbs measures. It provides a new set of examples with sofic entropy independent of sofic approximations. It is particularilly interresting, since in non-amenable case Rokhlin entropy was computed only in case of Bernoulli actions and for some examples with zero Rokhlin entropy. As an example we show that our formula holds for the supercritical Ising model. We also establish a criterion for uniqueness of Gibbs measure by means of f-invariant.

研究の動機と目的

• ソフィック近似に依存しないギブズ測度作用のソフィックおよびロフリン・エントロピーの普遍的公式の確立。
• ベルヌーイ移動やゼロエントロピー例を超える、計算可能なエントロピーを持つ作用のクラスの拡張。
• $f$-不変量を用いたギブズ測度の一意性の基準の提供。
• 具体的な例として、上臨界イジング模型における公式の有効性の確認。
• ランダム順序付け技術とセルワの上界を用いた、ソフィックおよびロフリン・エントロピーの統一的計算。

提案手法

• [BCKL13] にインspiredされたランダム順序付け技術を用いて、ソフィック近似上のギブズ測度のエントロピーを分析する。
• セルワのロフリン・エントロピーに対する上界 $\mathbb{E}_{\xi}H(\alpha|\alpha^{L_{\xi}})$ を適用し、主要な比較基準とする。
• ドゥブリーシンの一意性条件またはギブズ構造の吸引性を活用して、測度の一意性とエントロピーの安定性を保証する。
• ギブズ測度のマルコフ性を応用して、条件付きエントロピーを分解し、$f$-不変量フレームワークと関連付ける。
• 有限次元射影の弱-*位相収束を用いて、無限次元ギブズ測度のエントロピーを近似する。
• ソフィック・エントロピーの下界がロフリン・エントロピーの上界と一致することを証明し、等価性および近似に依存しない性質を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ギブズ測度作用のソフィック・エントロピーは、どの条件下でソフィック近似の選択に依存しないのか。
• RQ2 ギブズ測度作用のロフリン・エントロピーは、ソフィック・エントロピーと一致するか。また、明示的な公式で計算可能か。
• RQ3 ポテンシャルにどのような条件を課すと、ギブズ測度が一意的であり、エントロピーが適切に定義され計算可能になるか。
• RQ4 非可換群作用において、$f$-不変量はギブズ測度の一意性とどのように関係するか。
• RQ5 ランダム順序付け法を用いて、ソフィック・エントロピーの下界を導出し、それがロフリン・エントロピーの上界と一致するか。

主な発見

• ギブズ構造がドゥブリーシンの一意性条件を満たす場合、ギブズ測度作用のソフィック・エントロピーはソフィック近似に依存しない。
• このような作用のロフリン・エントロピーは、ソフィック・エントロピーと等しく、明示的な公式 $\mathbb{E}_{\xi}H(\alpha|\alpha^{L_{\xi}})$ で与えられる。
• 上臨界イジング模型では、この公式が成り立ち、ベルヌーイ型でもゼロエントロピーでもない設定においてもエントロピーの計算可能性が確認される。
• $f$-不変量はギブズ測度の一意性の基準を提供する：$f$-不変量が正しく定義され、エントロピーと一致する場合、測度は一意的である。
• ランダム順序付けにより導かれたソフィック・エントロピーの下界が、ロフリン・エントロピーの上界と一致し、等価性および近似に依存しない安定性が証明される。
• 本結果により、ベルヌーイ移動を超える非可換群作用の非自明なクラスで、計算可能かつ近似に依存しないエントロピーを持つ作用が初めて同定された。