[論文レビュー] Rank one isometries of buildings and quasi-morphisms of Kac-Moody groups

Pierre‐Emmanuel Caprace, Koji Fujiwara|ArXiv.org|Sep 2, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、整域上の非可約非球面的非アフィン Kac–Moody 群が、建物のランク1等距変換と CAT(0) 空間の剛性性質を用いて、無限次元の非自明な準同型空間を有することを確立している。主な結果は、このような群が無限大の交換子幅を持つことであり、Bardakov が提起した安定交換子長に関する問いに答えている。

ABSTRACT

Given an irreducible non-spherical non-affine (possibly non-proper) building $X$, we give sufficient conditions for a group $G < \Aut(X)$ to admit an infinite-dimensional space of non-trivial quasi-morphisms. The result applies to all irreducible (non-spherical and non-affine) Kac-Moody groups over integral domains. In particular, we obtain finitely presented simple groups of infinite commutator width, thereby answering a question of Valerii G. Bardakov from the Kourovka notebook. Independently of these considerations, we also include a discussion of rank one isometries of proper CAT(0) spaces from a rigidity viewpoint. In an appendix, we show that any homogeneous quasi-morphism of a locally compact group with integer values is continuous.

研究の動機と目的

• 建物に作用する群が非自明な準同型空間を無限次元に持つための条件を特定すること。
• Kac–Moody 群の安定交換子長と交換子幅に関する長年の問いに応えること。
• 整数値をとる同次的準同型に対する、局所コンパクト群における剛性結果を確立すること。
• 有界コホモロジーおよび準同型理論の理解を、非局所コンパクトかつ非双曲的状況へ拡張すること。

提案手法

• 幾何学的および群論的剛性を用いて、適切な CAT(0) 空間内のランク1等距変換を分析する。
• アパートの Weyl-推移性およびコンパクトな安定化子条件を用いて、無限次元の準同型空間を導出する。
• 非可約非球面的非アフィン建物の構造とその自己同型群の性質を用いる。
• Bavard の定理を介して、有界コホモロジーと安定交換子長の関係を応用する。
• 整数値をとる局所コンパクト群上の準同型の均質性と連続性の議論を用いる。
• 任意の局所コンパクト群から $ \mathbb{Z} $ への同次的準同型は連続であることを、p-進およびリー群の構造論を用いて証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 建物に作用するどのような群の作用において、非自明な準同型空間が無限次元になるか？
• RQ2 整域上の Kac–Moody 群が無限大の交換子幅を持つことが示せるか？
• RQ3 整数値をとる同次的準同型は、局所コンパクト群上でどのような剛性性質を示すか？
• RQ4 CAT(0) 空間内のランク1等距変換は、非自明な準同型の存在をどのように制約するか？
• RQ5 Weyl-推移的またはコンパクトな安定化子作用が、アパート上で無限次元の準同型空間をどのように示唆するか？

主な発見

• 任意の群 $ G < \mathrm{Aut}(X) $ が非可約非球面的非アフィン建物 $ X $ に作用するとき、作用が Weyl-推移的であるか、あるアパートの安定化子がコンパクトに作用するならば、$ \widetilde{\mathrm{QH}}(G) $ は無限次元である。
• 整域上の非可約非球面的非アフィン Kac–Moody 群は、すべて無限次元の非自明な準同型空間を有する。
• このような Kac–Moody 群は、正の安定交換子長をもつ元を含み、それによって無限大の交換子幅が生じる。
• 建物 $ X $ が局所コンパクトであるとき、$ \mathrm{Aut}(X) $ 上の連続で非自明な準同型空間は無限次元である。
• 任意の局所コンパクト群から $ \mathbb{Z} $ への同次的準同型は連続である。これは、コンパクト群およびリー群の構造論を用いて証明された。
• 任意の同次的準同型を、p-進群または連結な局所コンパクト群に制限したとき、値が $ \mathbb{Z} $ であるならば、それは自明である。これにより連続性が示される。