[論文レビュー] Reciprocity sheaves and abelian ramification theory

Kay Rülling, Shuji Saito|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、モチーフとモジュラスのカテゴリカル枠組みを用いて、移動付き前層のためのモチーフ的導出を導入し、ヘンゼリア離散付値体に対してF(L)へのフィルトレーションを確立する。これは古典的導出（ローゼンリフト＝セール、アーティン、不規則性）を統一・一般化するとともに、有限平坦群スキームの下での torsor のための新しい導出を導入する。

ABSTRACT

We define a motivic conductor for any presheaf with transfers $F$ using the categorical framework developed for the theory of motives with modulus by Kahn-Miyazaki-Saito-Yamazaki. If $F$ is a reciprocity sheaf this conductor yields an increasing and exhaustive filtration on $F(L)$, where $L$ is any henselian discrete valuation field of geometric type over the perfect ground field. We show if $F$ is a smooth group scheme, then the motivic conductor extends the Rosenlicht-Serre conductor; if $F$ assigns to $X$ the group of finite characters on the abelianized etale fundamental group of $X$, then the motivic conductor agrees with the Artin conductor defined by Kato-Matsuda; if $F$ assigns to $X$ the group of integrable rank one connections (in characteristic zero), then it agrees with the irregularity. We also show that this machinery gives rise to a conductor for torsors under finite flat group schemes over the base field, which we believe to be new. We introduce a general notion of conductors on presheaves with transfers and show that on a reciprocity sheaf the motivic conductor is minimal and any conductor which is defined only for henselian discrete valuation fields of geometric type with {\em perfect} residue field can be uniquely extended to all such fields without any restriction on the residue field. For example the Kato-Matsuda Artin conductor is characterized as the canonical extension of the classical Artin conductor defined in the perfect residue field case.

研究の動機と目的

• モチーフとモジュラスのカテゴリカル枠組みを用いて、移動付き前層のためのモチーフ的導出を定義すること。
• ヘンゼリア離散付値体（幾何的型）に対して、再帰的層ではこの導出がF(L)に増大かつ完全なフィルトレーションを誘導することを示すこと。
• ローゼンリフト＝セール、アーティン、不規則性の古典的導出を、単一のモチーフ的枠組みで統一・一般化すること。
• 基本体上の有限平坦群スキームの下での torsor のための新しい導出を導入すること。
• 任意の残渣体を持つヘンゼリア離散付値体へ、残渣体が完全な場合に定義された導出が一意に拡張可能であることを証明すること。

提案手法

• カーン＝ミヤザキ＝サイト＝ヤマザキが開発したモチーフとモジュラスのカテゴリカル枠組みを用いて、モチーフ的導出を定義する。
• 再帰的層の理論を適用し、導出がF(L)に適切に定義された増大かつ完全なフィルトレーションをもたらすことを保証する。
• 完全な基本体上の幾何的型のヘンゼリア離散付値体の構造を用いて、導出の振る舞いを分析する。
• 既知の不変量との整合性を確立する：滑らかな群スキームに対してはローゼンリフト＝セール導出、アーベル化されたエタール基本群に対してはアーティン導出、可換階数1の接続に対しては不規則性。
• 拡張の一意性を用いて、完全な残渣体を持つ場合に定義された導出が、任意の残渣体へ自然に拡張可能であることを示す。
• 移動付き前層のための一般の導出の概念を導入し、再帰的層上でのモチーフ的導出の最小性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モチーフとモジュラスの枠組みを用いて、移動付き前層のための統一的モチーフ的導出をどのように定義できるか？
• RQ2 モチーフ的導出は、ローゼンリフト＝セール、アーティン、不規則性の導出をどのように一般化するか？
• RQ3 有限平坦群スキームの下での torsor のための新しい導出を定義可能か？また、再帰的層の文脈において意味を持つのか？
• RQ4 完全な残渣体を持つ体で定義された導出と、任意の残渣体を持つ体で定義された導出との関係は何か？
• RQ5 再帰的層上でのすべての可能な導出の中で、モチーフ的導出は最小か？

主な発見

• 任意の再帰的層Fおよび幾何的型のヘンゼリア離散付値体Lに対して、モチーフ的導出はF(L)に自然な増大かつ完全なフィルトレーションを提供する。
• 滑らかな群スキームに対しては、モチーフ的導出は古典的ローゼンリフト＝セール導出と一致する。
• アーベル化されたエタール基本群上の有限文字の群に対しては、モチーフ的導出はカトウ＝マツダのアーティン導出と一致する。
• 特性0において、可換階数1の接続に対しては、モチーフ的導出は不規則性不変量と一致する。
• 有限平坦群スキームの下での torsor のための新しい導出が導入され、それがモチーフ的枠組み内で適切に定義され、整合的であることが示された。
• 完全な残渣体を持つヘンゼリア離散付値体で定義された任意の導出は、すべての同様の体へ一意に拡張可能であり、カトウ＝マツダのアーティン導出は古典的アーティン導出の自然な拡張として特徴づけられる。