[論文レビュー] Reduced arithmetically Gorenstein schemes and simplicial polytopes with maximal Betti numbers

Juan Migliore, Uwe Nagel|ArXiv.org|Mar 28, 2001

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、任意の次元における縮小された、算術的にゴレンシュタインなスキームを、任意のSI-系列（対称的で単調増加・単調減少、微分可能なO-系列）を、そのアーティン環還元が弱レフシェーツ作用素（WLP）を有する線型部分空間の配置に引き上げることで構成する。主な貢献は、同じヒルベルト関数とWLPを有するすべての算術的にゴレンシュタイン的部分スキームの中で、このようなスキームが極値のベッチ数を達成することを証明し、これを用いて、固定されたh-ベクトルをもつ任意の単体的多面体が、特徴が0の体上に極値のベッチ数を有する代表元をもつことを示す。

ABSTRACT

An SI-sequence is a finite sequence of positive integers which is symmetric, unimodal and satisfies a certain growth condition. These are known to correspond precisely to the possible Hilbert functions of Artinian Gorenstein algebras with the Weak Lefschetz Property, a property shared by most Artinian Gorenstein algebras. Starting with an arbitrary SI-sequence, we construct a reduced, arithmetically Gorenstein configuration $G$ of linear varieties of arbitrary dimension whose Artinian reduction has the given SI-sequence as Hilbert function and has the Weak Lefschetz Property. Furthermore, we show that $G$ has maximal graded Betti numbers among all arithmetically Gorenstein subschemes of projective space whose Artinian reduction has the Weak Lefschetz Property and the given Hilbert function. As an application we show that over a field of characteristic zero every set of simplicial polytopes with fixed $h$-vector contains a polytope with maximal graded Betti numbers.

研究の動機と目的

• 特徴が0の射影空間内に、弱レフシェーツ作用素（WLP）を有するアーティン環ゴレンシュタイン代数のヒルベルト関数とグレードド・ベッチ数が、非特異な算術的にゴレンシュタイン的部分スキームにどのように引き上げられるかを特定すること。
• 与えられたヒルベルト関数とWLPを有する算術的にゴレンシュタイン的スキームが、極値のベッチ数を有するものとして存在するかどうかという未解決問題に取り組むこと。
• トーリック位相や特徴に依存する手法に依存せずに、SI-系列を非特異なゴレンシュタイン的配置に構成的に幾何学的に引き上げること。
• 固定されたh-ベクトルをもつ任意の単体的多面体が、特徴が0の体上に、極値のグレードド・ベッチ数を有する代表元を少なくとも1つもつことの証明。

提案手法

• アーティン環還元が所望のSI-系列をヒルベルト関数として持ち、弱レフシェーツ作用素（WLP）を満たすような、線型部分空間の和集合である一般化されたスティック・フィギュアを構成する。
• 完全交差を介した再帰的連結プロセスを用いて、所望のヒルベルト関数を有する算術的にコhen＝マカウルのイデアルおよびゴレンシュタインイデアルを構築する。
• 部分空間性質（Subspace Property）を用いて、結果として得られるスキームが算術的にゴレンシュタイン的であり、かつベッチ数が最大化されることを保証する。
• SI-系列の理論を用いて、任意のこのような系列が単体的多面体のh-ベクトルとして現れることを示し、それを非特異なゴレンシュタイン的スキームに引き上げる。
• 構築されたゴレンシュタイン的配置が、同じヒルベルト関数とWLPを有するすべての算術的にゴレンシュタイン的スキームの中で、最大のグレードド・ベッチ数を達成することを示す。
• ゴレンシュタイン的スキームのヒルベルト関数が対称的で単調増加・単調減少であり、前半が微分可能なO-系列であることを用いて、構成が有効であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のSI-系列が、射影空間内に非特異で算術的にゴレンシュタイン的であり、弱レフシェーツ作用素（WLP）を有するスキームのヒルベルト関数として現れることができるか？
• RQ2 固定されたヒルベルト関数とWLPを有するすべての算術的にゴレンシュタイン的部分スキームの中で、極値のグレードド・ベッチ数を有するものがあるか？
• RQ3 固定されたh-ベクトルをもつ任意の単体的多面体が、特徴が0の体上に、極値のベッチ数を有する代表元を少なくとも1つもつのか？
• RQ4 弱レフシェーツ作用素（WLP）は、アーティン環ゴレンシュタイン代数から、幾何学的構成を介して非特異な算術的にゴレンシュタイン的部分スキームに引き上げられるか？
• RQ5 トーリック多様体や特徴に依存する位相に依存せずに、極値のベッチ数を有するゴレンシュタイン的スキームの構成が可能か？

主な発見

• 任意のSI-系列に対して、そのアーティン環還元がそのSI-系列をヒルベルト関数として持ち、弱レフシェーツ作用素（WLP）を有する線型部分空間の非特異な算術的にゴレンシュタイン的配置を明示的に構成する。
• 構築されたスキームは、同じヒルベルト関数とWLPを有するすべての算術的にゴレンシュタイン的部分スキームの中で、最大のグレードド・ベッチ数を達成する。
• この構成は任意の余次元および次元で有効であり、大規模なゴレンシュタイン的スキームのクラスにおいて極値のベッチ数を実現する一様な方法を提供する。
• この方法により、任意のSI-系列が単体的多面体のh-ベクトルとして現れることを、トーリック位相に依存せず、特徴が0の体上で有効な新しい幾何的証明が得られる。
• 固定されたh-ベクトルに対して、極値のグレードド・ベッチ数を有する単体的多面体が存在することを示し、単体的多面体の文脈における極値的挙動に関する疑問に答えている。
• 完全交差リンクに制限すると、構成は失敗する。特に、h_2 = 6 かつ h_3 = n−10（14 ≤ n ≤ 20）であるh-ベクトルに対して、n=19およびn=20は完全交差リンクでは達成できないが、ゴレンシュタインリンクでは達成可能である。