[論文レビュー] Relations on Mbar_{g,n} via 3-spin structures

Rahul Pandharipande, Aaron Pixton+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、3スピン構造から構成されたコホロロジー場理論（CohFT）を用いて、安定曲線のモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上のピクストンの予想されたタウトロジカル関係を証明する。ウィッテンの非単純3スピン類を、ホモジニアティーから得られる消滅性を持つ単純化したCohFTに変更することで、ギヴェンタル＝テレマン分類を適用し、ウィッテンの類の明示的公式を導出し、コホロロジーにおけるピクストンの関係の完全な系を確立する。これにより、特別な場合としてファーバー＝ザジエール予想がコホロロジーにおいて証明される。

ABSTRACT

Witten's class on the moduli space of 3-spin curves defines a (non-semisimple) cohomological field theory. After a canonical modification, we construct an associated semisimple CohFT with a non-trivial vanishing property obtained from the homogeneity of Witten's class. Using the classification of semisimple CohFTs by Givental-Teleman, we derive two main results. The first is an explicit formula in the tautological ring of Mbar_{g,n} for Witten's class. The second, using the vanishing property, is the construction of relations in the tautological ring of Mbar_{g,n}. Pixton has previously conjectured a system of tautological relations on Mbar_{g,n} (which extends the established Faber-Zagier relations on M_g). Our 3-spin construction exactly yields Pixton's conjectured relations. As the classification of CohFTs is a topological result depending upon the Madsen-Weiss theorem (Mumford's conjecture), our construction proves relations in cohomology. The study of Witten's class and the associated tautological relations for r-spin curves via a parallel strategy will be taken up in a following paper.

研究の動機と目的

• $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上のピクストンの予想されたタウトロジカル関係系 $\mathsf{P}$ をコホロロジー環で証明すること。
• 関係を $\mathcal{M}_g$ に制限することで、ファーバー＝ザジエール予想のコホロロジー的証明を提供すること。
• ウィッテンの3スピンCohFTを、ホモジニアティーを活用した標準的変形により非単純から単純なCohFTに変換すること。
• $r$-スピン理論の文脈において、$r=3$ をプロトタイプとして、ギヴェンタル＝テレマン分類の幾何的実現を確立すること。

提案手法

• 関連するフォーベニウス多様体の単純点に移行することで、ウィッテンの3スピン類から修正されたCohFTを構成する。
• ウィッテンの類のホモジニアティーを用いて、修正されたCohFTにおける非自明な消滅性を導出する。
• 単純CohFTのギヴェンタル＝テレマン分類を適用し、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ のタウトロジカル環におけるウィッテンの3スピン類の明示的公式を導出する。
• 消滅性を用いてタウトロジカル環内の関係を導出し、それらがピクストンが予想した関係系 $\mathsf{P}$ と一致することを示す。
• 低 genusおよび低次数における明示的計算を通じて関係を検証し、ゲツラー関係およびベロルウスキー＝パンダリパンド関係を含む。
• 安定グラフの分解および境界ストラタ写像 $\xi_\Gamma$ を用いて、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上のクラスを頂点ごとの積の形で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3スピンCohFTの構成は、$H^*(\overline{\mathcal{M}}_{g,n},\mathbb{Q})$ 内でピクストンの予想されたタウトロジカル関係系 $\mathsf{P}$ を完全に得るか？
• RQ2 ギヴェンタル＝テレマン分類を適用することで、タウトロジカル環におけるウィッテンの3スピン類の明示的公式を導出できるか？
• RQ3 修正されたCohFTの消滅性は、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 内の既知のすべてのタウトロジカル関係を生成するのに十分か？
• RQ4 パrameter $\phi \to 0$ の極限において、$R$-行列およびウィッテンの類の振る舞いはどのように変化するか？極限は有限のままであるか？
• RQ5 $r > 3$ の場合に、ウィッテンの類の公式を、$\overline{\mathcal{M}}^{1/r}_{g;a_1,\dots,a_n}$ 上の $r$-スピン構造のモジュライ空間に持ち上げられるか？

主な発見

• 修正された3スピンCohFTは、ギヴェンタル＝テレマン分類を用いて、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ のタウトロジカル環におけるウィッテンの3スピン類の明示的公式を導出する。
• 修正されたCohFTの消滅性は、ピクストンが予想した関係系 $\mathsf{P}$ を正確に生成し、それらがコホロロジーにおいて証明される。
• $\overline{\mathcal{M}}_{0,4}$ 上の次数2の関係は、$\kappa_1 = \psi_1 = \psi_2 = \psi_3 = \psi_4 = \delta_{[1,2|3,4]} = \delta_{[1,3|2,4]} = \delta_{[1,4|2,3]}$ と同値であることが示され、この場合における系の完全性が確認される。
• ゲツラー関係およびベロルウスキー＝パンダリパンド関係は、いずれも構築された関係の特別な場合として回復され、それらが $\mathsf{P}$ の中で正当化される。
• $\phi \to 0$ の極限において、$R$-行列の式は高次項のキャンセルにより発散する項が相殺され、有限のまま保たれる。
• 境界ストラタにおける可除性の障害のため、この構成は $r > 3$ の $r$-スピン構造へは拡張できない。また、$r=2$ の場合ですら、クラスは双対グラフのみでは表現できない。