[論文レビュー] Representations of semisimple Lie algebras in prime characteristic and noncommutative Springer resolution

Roman Bezrukavnikov, Ivan Mirković+1 more|Scholarworks (University of Massachusetts Amherst)|Jan 14, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、非可換解消とホロノミック・スプリングァー解消の導来同値性を用いて、素数の特異性における半単純リー代数の表現に関するルシュティグの予想の多くを証明する。フォビオウス純粋性および正標数局在化と幾何学的ラングランズ双対性との整合性を用いて、スプリングァー層のグローテンディーク群に一意的な基底を確立し、ほとんどすべての素数における表現の数値的性質を制御する。

ABSTRACT

We prove most of Lusztig's conjectures from the paper "Bases in equivariant K-theory II", including the existence of a canonical basis in the Grothendieck group of a Springer fiber. The conjectures also predict that this basis controls numerics of representations of the Lie algebra of a semi-simple algebraic group over an algebraically closed field of positive characteristic. We check this for almost all characteristics. To this end we construct a non-commutative resolution of the nilpotent cone which is derived equivalent to the Springer resolution. On the one hand, this noncommutative resolution is shown to be compatible with the positive characteristic version of Beilinson-Bernstein localization equivalences. On the other hand, it is compatible with the t-structure arising from the equivalence of Arkhipov-Bezrukavnikov with the derived category of perverse sheaves on the affine flag variety of the Langlands dual group, which was inspired by local geometric Langlands duality. This allows one to apply Frobenius purity theorem to deduce the desired properties of the basis. We expect the noncommutative counterpart of the Springer resolution to be of independent interest from the perspectives of algebraic geometry and geometric Langlands duality.

研究の動機と目的

• 半単純リー代数の素数の特異性におけるスプリングァー層のグローテンディーク群に一意的な基底が存在することを証明すること。
• この一意的基底が、代数的に閉じた体の正標数におけるリー代数の表現の数値的不変量を制御することを確立すること。
• スプリングァー解消と導来同値である非可換なノルムコーンの解消を構成すること。
• この非可換解消が、正標数局在化同値と、幾何学的ラングランズ双対性から生じる t-構造と整合することを示すこと。
• BBDのフォビオウス純粋性定理を適用して、K理論における一意的基底の性質を導出すること。

提案手法

• 旗多様体の余接束における t-構造を用いて、スプリングァー解消への導来同値性によって、ノルムコーンの非可換解消を構成する。
• 正標数における旗多様体の零切断の形式的近傍上の両立するコherent層の導来圏におけるアフィンブレッド群の作用を利用する。
• $T^*(G/B)$ 上のエクゾチックおよびブレッド正の t-構造を定義し、それらを $Urak{g}_k$-加群上の表現論的 t-構造と関連付ける。
• 基底変換と DG スキームおよび畳み込み作用素との整合性を用いて、正標数から標数 0 への t-構造の持ち上げを行う。
• BBD のフォビオウス純粋性定理を適用して、K理論における一意的基底が対合作用素に関して不変であり、性質 $({oldsymbol{lat}})$ を満たすことを示す。
• 等置性局在化とスロドウイのスライス技法を用いて、正標数における既約および射影的加群を持ち上げ、K群における一様性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スプリングァー層のグローテンディーク群は、素数の特異性における $Urak{g}_k$ の表現論を制御する一意的基底をもつか？
• RQ2 スプリングァー解消と導来同値であり、正標数局在化と整合するノルムコーンの非可換解消を構成できるか？
• RQ3 $T^*(G/B)$ 上の t-構造、特にエクゾチックおよびブレッド正の t-構造は、$Urak{g}_k$-加群上の表現論的 t-構造とどのように関係するか？
• RQ4 一意的基底が拡張中心化群およびラングランズ双対群から生じる対合作用素に関して、どの程度不変性を保つか？
• RQ5 K理論が性質 $({oldsymbol{lat}})$ を満たすための条件は何か？ これにより、ルシュティグの予想が正標数における純粋性の主張に還元可能になる。

主な発見

• この論文は、$p > h$ なるほとんどすべての素数 $p$ に対して、スプリングァー層のグローテンディーク群に一意的基底が存在することを証明する。
• スプリングァー解消と導来同値であり、正標数局在化関手と整合するノルムコーンの非可換解消が構成される。
• エクゾチック t-構造が非可換代数 $A$ 上の加群圏における t-構造と同値であることが示され、非可換スプリングァー解消が得られる。
• フォビオウス純粋性定理を適用して、一意的基底が拡張中心化群およびラングランズ双対群から生じる対合作用素に関して不変であり、性質 $({oldsymbol{lat}})$ を満たすことが示される。
• スプリングァー層の K理論は性質 $({oldsymbol{lat}})$ を満たし、これによりルシュティグの予想が正標数における純粋性の主張に還元可能になる。
• $p \gg 0$ に対して、K理論における一意的基底が $p$ の選び方に依存せず、大規模な素数においてグローテンディーク群の構造が一様であることが示される。