[論文レビュー] Ricci flow and birational surgery

Jian Song|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 30被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、ケーラー・リッチフローが、正のノルムをもつ複素部分多様体 $\mathbb{P}^m$ と同型で、負の正規束をもつものについて、有限時間内に収縮するという、標準的な計量的手術を実現することを確立している。また、Gromov-Hausdorff位相における連続的経路を通じて、孤立特異点を解消する。フローによって、グローバルおよびローカルな計量のフリップの例が構成され、特異点における接空間の極限として、収縮型および拡張型の勾配ケーラー・リッチソリトンへの収束が示された。

ABSTRACT

We study the formation of finite time singularities of the Kahler-Ricci flow in relation to high codimensional birational surgery in algebraic geometry. We show that the Kahler-Ricci flow on an n-dimensionl Kahler manifold contracts a complex submanifold $\mathbb{P}^m$ with normal bundle $\oplus_{j=1}^{n-m}\mathcal{O}_{\mathbb{P}^m}(-a_j)$ for $a_j\in\mathbb{Z}^+$ and $\sum_{j=1}^{n-m} a_j \leq m$ in Gromov-Hausdorff topology with suitable initial Kahler class. We also show that the Kahler-Ricci flow resolves a family of isolated singularities uniquely in Gromov-Hausdorff topology. In particular, we construct global and local examples of metric flips by the Kahler-Ricci flow as a continuous path in Gromov-Hausdorff topology.

研究の動機と目的

• 代数幾何における双有理的手術の幾何的実現を、ケーラー・リッチフローを用いて確立すること。
• 初期ケーラー類が正の錐にあるコンパクトケーラー多様体上で、ケーラー・リッチフローが、負の正規束をもつ $\mathbb{P}^m$ 部分多様体を有限時間内に収縮することを示すこと。
• フローが孤立特異点を一意的に解消し、Gromov-Hausdorff位相において連続的経路として計量的フリップを実行することを示すこと。
• フリップのための計量均質化計画を提唱し、特異点における接空間と、収縮型および拡張型の勾配ケーラー・リッチソリトンを結びつけること。

提案手法

• 初期ケーラー類が正の錐にあるコンパクトケーラー多様体上でケーラー・リッチフローを用い、$\mathbb{P}^m$ 部分多様体の収縮を誘導する。
• 2次微分作用素の推移的推定を用いて曲率を制御し、Gromov-Hausdorff位相における収束を保証する。
• Calabiのアンツァツおよび局所的解析的モデルを用いて、収縮の特異的領域付近での明示的解を構成する。
• 放物型タイプIスケーリングを用いて吹き上がり極限を解析し、正規束上に、収縮型および拡張型の勾配ケーラー・リッチソリトンを同定する。
• 対数終等特異点をもつ多様体上での弱ケーラー・リッチフローの解析的解の存在および一意性に依拠する。
• 除法的収縮およびフリップの系列を通じて、最小モデル上の標準計量へのフローの収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーラー・リッチフローは、代数幾何における高余次元の双有理的収縮に対応する、標準的な計量的手術を実行できるか？
• RQ2 初期ケーラー類が適切であれば、$\oplus_{j=1}^{n-m}\mathcal{O}_{\mathbb{P}^m}(-a_j)$ を正規束としてもつ $\mathbb{P}^m$ 部分多様体は、有限時間内に収縮するか？
• RQ3 ケーラー・リッチフローは、Gromov-Hausdorff位相において、孤立特異点を一意に解消できるか？
• RQ4 特異点における接空間を通じて、収縮型および拡張型の勾配ケーラー・リッチソリトンを結ぶ、Gromov-Hausdorff位相における連続的経路が存在するか？
• RQ5 ケーラー・リッチフローは、正規束上および接空間上のソリトンを介して、フリップの計量均質化を実現できるか？

主な発見

• 初期ケーラー類が適切であれば、正規束が $\oplus_{j=1}^{n-m}\mathcal{O}_{\mathbb{P}^m}(-a_j)$ で、$a_j \in \mathbb{Z}^+$ かつ $\sum a_j \leq m$ を満たす $\mathbb{P}^m$ 部分多様体は、有限時間内に収縮する。
• フローは、一意的にGromov-Hausdorff位相において、一連の孤立特異点を解消し、特異時刻を通過する連続的経路を形成する。
• グローバルおよびローカルな計量的フリップの例が、Gromov-Hausdorff位相における連続的経路として、ケーラー・リッチフローによって構成される。
• 放物型タイプIスケーリングの後、特異時刻における吹き上がり極限は、完全な収縮型勾配ケーラー・リッチソリトンと完全な拡張型勾配ケーラー・リッチソリトンを、計量的接空間を通じて結ぶ連続的経路である。
• フローは $\limsup_{t\to T^-}(T-t)|Rm(g(t))|_{g(t)}<\infty$ および $\limsup_{t\to T^+}(t-T)|Rm(g(t))|_{g(t)}<\infty$ を満たし、特異点付近でのタイプI曲率バウンドを示している。
• 予想6.2では、各フリップが、特異点以前に例外的部分多様体の正規束上に収縮型ソリトンでモデル化され、それ以降に拡張型ソリトンでモデル化され、両者が指標的Gromov-Hausdorff位相で同じ接空間計量に収束すると提案されている。