[論文レビュー] Riemann-Roch Theorems for Deligne-Mumford Stacks

Bertrand Toën|ArXiv.org|Mar 17, 1998

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、表現を係数とするコホモロジー理論とそれに対応するチャーン・キャラクターを導入することで、デリーニュ＝ムーディー・スタックに対するリーマン・ロッホ定理を確立する。このフレームワークにより、関連するリーマン・ロッホ変換に対するグロタンディーク・リーマン・ロッホ定理を証明し、連接層のオイラー特性に対するヒルツェブルーフ・リーマン・ロッホの公式および複素代数的スタックの位相的オイラー特性に関する公式を導く。

ABSTRACT

The goal of this paper is to prove Riemann-Roch type theorems for Deligne-Mumford algebraic stacks. To this end, we introduce a "cohomology with coefficients in representations" and a Chern character, and we prove a Grothendieck-Riemann-Roch theorem for the Riemann-Roch transformation it defines. As a corollary we obtain an Hirzebruch-Riemann-Roch formula for the Euler characteristic of a coherent sheaf, and some formulas for the different topological Euler characteristics of complex algebraic stacks.

研究の動機と目的

• 代数的空間を一般化し、モジュライ理論において中心的役割を果たすデリーニュ＝ムーディー・スタックへリーマン・ロッホ理論を拡張すること。
• スタックの性質を扱うために、スタックの構造群の表現を係数とするコホモロジー理論を定義すること。
• リーマン・ロッホ型定理に用いるために、このコホモロジーと整合するチャーン・キャラクター写像を構成すること。
• このフレームワークによって定義されるリーマン・ロッホ変換に対するグロタンディーク・リーマン・ロッホ定理を確立すること。
• 連接層のオイラー特性および複素代数的スタックの位相的不変量に対する明示的な公式を導出すること。

提案手法

• スタックの構造群の表現を係数とする新しいコホモロジー理論を導入する。
• K理論からこのコホモロジーへのチャーン・キャラクター写像を定義し、古典的チャーン・キャラクターを一般化する。
• K理論からコホモロジーへのリーマン・ロッホ変換を構成する。これは本研究の中心的対象である。
• この変換に対するグロタンディーク・リーマン・ロッホ定理を証明し、K理論におけるプッシュフォワードとコホモロジー的プッシュフォワードを関係付ける。
• 主要定理を応用して、連接層のオイラー特性に対するヒルツェブルーフ・リーマン・ロッホの公式を導出する。
• リーマン・ロッホの道具立てを用いて、複素代数的スタックの異なる位相的オイラー特性に関する公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スキームでないデリーニュ＝ムーディー・スタックへリーマン・ロッホ定理をどのように一般化できるか？
• RQ2 スタック的不変量を捉えるために必要な、表現を係数とするコホモロジー理論は何か？
• RQ3 スタックの文脈でリーマン・ロッホ定理を支援するために、どのようにチャーン・キャラクターを定義できるか？
• RQ4 この新しい設定におけるリーマン・ロッホ変換に対するグロタンディーク・リーマン・ロッホの公式は何か？
• RQ5 このフレームワークは、複素代数的スタックのオイラー特性および位相的不変量の計算にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 表現係数のコホモロジーを用いたリーマン・ロッホ変換に対するグロタンディーク・リーマン・ロッホ定理が、デリーニュ＝ムーディー・スタック上で確立された。
• 連接層のオイラー特性に対する明示的なヒルツェブルーフ・リーマン・ロッホの公式が導出された。
• この論文は、複素代数的スタックの異なる位相的オイラー特性に関する公式を提供し、古典的不変量をスタック的設定へ拡張した。
• チャーン・キャラクター写像はスタックの構造を尊重する形で構成され、リーマン・ロッホの道具立てを可能にした。
• 表現を係数とするコホモロジーが、代数的スタックの文脈におけるリーマン・ロッホ定理の適切な枠組みであることが示された。
• 結果は複素代数的スタックに対して有効であり、変換フレームワークにより、固有および非固有な準同型へも適用可能である。