[論文レビュー] Saddle towers in H^2 x R

Filippo Morabito, M. Magdalena Rodríguez|ArXiv.org|Oct 29, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、H²×Rにおける滑らかに埋め込まれた極小表面の(2k−2)パラメータ族を構成し、Saddle Towersと呼ばれる。この表面は、垂直移動に関して不変であり、Genus 0、2k個の垂直方向のScherk型の端を持ち、全内在曲率が4π(1−k)である。この構成は、理想多角形領域上のJenkins-Serrinグラフの共役極小表面を用い、ℓ→∞における極限によって対称な極小表面およびJenkins-Serrinグラフが得られる。

ABSTRACT

Given k>=2, we construct a (2k-2)-parameter family of properly embedded minimal surfaces in H^2 x R invariant by a vertical translation T, called Saddle Towers, which have total intrinsic curvature 4 pi(1-k), genus zero and 2k vertical Scherk-type ends in the quotient by T. As limits of those Saddle Towers, we obtain Jenkins-Serrin graphs over ideal polygonal domains (with total intrinsic curvature 2 pi(1-k)); we also get properly embedded minimal surfaces which are symmetric with respect to a horizontal slice and have total intrinsic curvature 4 pi(1-k), genus zero and k vertical planar ends.

研究の動機と目的

• H²×RにおけるGenus 0および2k個の垂直方向Scherk型の端を持つ、(2k−2)パラメータ族の滑らかに埋め込まれた極小表面を構成すること。
• R³における古典的なScherkおよびSaddle Towerの構成を、積空間H²×Rへと拡張すること。
• 垂直移動長さℓ→∞におけるこれらのSaddle Towersの極限を分析し、k個の平面型の端を持つ新たな極小表面が得られることを示すこと。
• H²×Rにおける理想多角形領域上に、境界値が±∞として交互に割り当てられたJenkins-Serrinグラフが存在することを確立すること。
• R³に比べてH²×Rが、単連結でない例を含む、より豊かな有限全曲率極小表面の族を有することを示すこと。

提案手法

• H²における理想多角形領域上に、辺に交互に±∞の境界値を割り当てた極小グラフを構成する。
• Jenkins-Serrinグラフの共役極小表面構成を用い、H²×RにおけるSaddle Towersに変換する。
• 共役化プロセスを用いて、水平方向の対称曲線と、垂直移動による商空間における垂直Scherk型の端を持つ表面を生成する。
• 移動長さℓ→∞における極限をとることで、H²×{0}に関する反射に関して不変であり、k個の垂直平面型の端を持つ極小表面が得られることを示す。
• コンパクト集合上で一様収束することを示し、共役表面の列が理想多角形領域上のJenkins-Serrinグラフに収束することを証明する。
• k−1個の頂点を固定することで、理想多角形領域の空間をパラメータ化し、(2k−3)の自由度を得る。さらに、移動長さℓを含めることで、(2k−2)パラメータに拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k≥2に対して、H²×RにGenus 0および2k個の垂直Scherk型の端を持つ(2k−2)パラメータ族の滑らかに埋め込まれた極小表面を構成できるか？
• RQ2 H²×RにおけるSaddle Towersの垂直移動長さℓ→∞における挙動は何か？また、極限としてどのような極小表面が得られるか？
• RQ3 H²×Rにおける理想多角形領域上に、交互に辺に±∞の境界値が割り当てられたJenkins-Serrinグラフが存在するか？
• RQ4 H²×Rにおける対称的Saddle Towersは、回転対称性を持つ理想多角形領域上の自己共役Jenkins-Serrinグラフに収束するか？
• RQ5 H²×Rに相似変換が存在しないことにより、極小表面のパラメータ空間がどのように決定されるか？

主な発見

• 任意のk≥2に対して、H²×RにGenus 0、2k個の垂直Scherk型の端、全内在曲率4π(1−k)を持つ、(2k−2)パラメータ族の滑らかに埋め込まれた極小表面（Saddle Towers）が存在する。
• 垂直移動長さℓ→∞において、Saddle TowersはH²×{0}に関する反射に関して不変であり、k個の垂直平面型の端と全曲率4π(1−k)を持つ極小表面に収束する。
• これらの極限表面は、2k個の辺を持つ理想多角形領域上に存在するJenkins-Serrinグラフであり、境界値が交互に±∞に割り当てられ、全曲率4π(1−k)である。
• このようなJenkins-Serrinグラフの空間は、等長変換を除いてk−1個の頂点の選択に依存し、(2k−3)パラメータを持つ。
• 本構成により、R³では不可能な、Genus 0およびk≥3の端を持つ、H²×Rにおける滑らかに埋め込まれた極小表面の最初の既知の例が得られる。
• 回転対称性を持つ理想多角形領域上に定義された対称的Jenkins-Serrinグラフは、自己共役である。つまり、その共役表面は自分自身と等長である。