[논문 리뷰] Scale-free localization and PT symmetry breaking from local non-Hermiticity

Bo Li, He-Ran Wang외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 02. 08.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics참고 문헌 44인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 1차원 헤르미트 격자에서 국소적인 비헤르미트 섭동이 일반적으로 체계 크기에 따라 스케일 자유로운 국소화를 유도함을 보여주며, 이 경우 고유상태의 붕괴 길이는 체계 크기와 비례한다. 섭동이 경계에서 유한한 거리 떨어져 있을 경우, 추가로 지수적으로 국소화된 유사 상태를 생성하며, 중요한 바와 같이 $PT$ 대칭성의 붕괴는 항상 이러한 국소화와 동시에 발생하며, 밴드 구조 기반 기준은 $PT$ 붕괴 에너지 창문을 정확히 예측한다.

ABSTRACT

We show that a local non-Hermitian perturbation in a Hermitian lattice system generically induces scale-free localization for the continuous-spectrum eigenstates. When the perturbation lies at a finite distance to the boundary, the scale-free eigenstates are promoted to exponentially localized modes, whose number is proportional to the distance. Furthermore, when the local non-Hermitian perturbation respects parity-time (PT) symmetry, the PT symmetry breaking is always accompanied by the emergence of scale-free or exponential localization. Intriguingly, we find a concise band-structure condition, which tells not only when the continuous-spectrum PT breaking of scale-free modes can occur, but also the precise PT-breaking energy window. Our results uncover a series of unexpected generic phenomena induced by a local non-Hermitian perturbation, which has interesting interplay with PT symmetry.

연구 동기 및 목표

• 1차원 헤르미트 격자 시스템에서 국소적인 비헤르미트 섭동이 고유상태 국소화에 미치는 영향을 조사하기 위해.
• 비헤르미트 항이 국소화되어 있을 경우 이러한 시스템에서 $PT$ 대칭성 붕괴가 어떻게 나타나는지 파악하기 위해.
• 스케일 자유로운 국소화를 보이는 시스템에서 $PT$ 대칭성 붕괴를 예측하는 일반적인 밴드 구조 기반 기준을 수립하기 위해.
• 국소화 메커니즘(스케일 자유 vs. 지수적)과 국소적인 비헤르미트성 하에서의 $PT$ 대칭성 붕괴 간의 상호작용을 명확히 하기 위해.
• 광학 격자 및 결합된 캐비티 어레이와 같은 실험 플랫폼에 적용 가능한 이론적 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 열린 경계 조건 하에서 경계에 국소적인 비헤르미트 항을 포함한 헤르미트 타이트버딩 해밀토니안 모델링, 예를 들어 $ H = \tsum_{j} t(|j\rangle\langle j+1| + |j+1\rangle\langle j|) + ig|1\rangle\langle 1| $.
• 고유값 문제를 해를 위한 가설 $ \psi_j(\beta) = c_1 \beta^j + c_2 \beta^{-j} $를 사용하여 해결하여 스펙트럼을 결정하는 특성 방정식 유도.
• 스펙트럼의 渐近적 행동 분석을 통해 스케일 자유로운 국소화 조건 유도: $ |\beta|^L \sim O(1) $ 이면 $ |\beta| \simeq e^{c/L} $ 이고, 이는 체계 크기 $ L $ 과 비례하는 붕괴 길이를 의미함.
• 유한한 거리에 있는 비헤르미트 불순물을 도입하여 지수적으로 국소화된 유사 상태 생성; 이러한 상태의 수는 경계로부터의 거리에 비례함.
• 에너지 스펙트럼과 대칭 제약 조건을 바탕으로 유도된 밴드 구조 기반 기준을 적용하여 $PT$ 대칭성 붕괴 예측; 특히 섭동이 $PT$ 대칭성을 유지할 경우에 유용.
• 특히 디제너레이션 상태가 존재할 경우, 반대 펄스 모드의 부분공간에서 효과적인 이중 수준 해밀토니안을 사용하여 예외점( exceptional points)을 통한 $PT$ 붕괴 분석.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 헤르미트 격자 시스템에서 국소적인 비헤르미트 섭동이 연속 스펙트럼 고유상태에 대해 스케일 자유로운 국소화를 유도할 수 있는가?
• RQ2 경계에서 유한한 거리 떨어진 국소적인 비헤르미트 불순물이 지수적으로 국소화된 유사 상태를 생성하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 이러한 시스템에서 $PT$ 대칭성 붕괴는 스케일 자유 또는 국소화된 모드의 발생과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 국소적인 비헤르미트성 존재 시, 스케일 자유로운 국소화를 보이는 시스템에서 $PT$ 대칭성 붕괴를 예측할 수 있는 일반적인 밴드 구조 기반 기준이 존재하는가?
• RQ5 디제너레이션 부분공간에서 효과적인 저에너지 해밀토니안을 통해 국소화와 $PT$ 대칭성 붕괴 간의 상호작용을 이해할 수 있는가?

주요 결과

• 경계에 위치한 국소적인 비헤르미트 섭동은 고유상태의 공간적 붕괴 길이가 체계 크기 $ L $ 과 비례하는 스케일 자유로운 국소화를 유도하며, 이는 체계의 절대 척도와 무관하다.
• 비헤르미트 항이 경계에서 유한한 거리 $ d $ 떨어져 있을 경우, 체계는 $ d $ 개의 지수적으로 국소화된 유사 상태를 지님. 이들의 국소화 길이와 분포는 $ L $ 과 무관하다.
• $PT$ 대칭성 붕괴는 일반적으로 스케일 자유 또는 지수적으로 국소화된 모드의 출현과 함께 발생하며, $PT$ 대칭성 섭동 하에서는 두 현상이 분리될 수 없다.
• 간결한 밴드 구조 기반 기준은 스케일 자유 모드에 대한 $PT$ 대칭성 붕괴의 발생 여부와 에너지 창문을 정확히 결정하며, 열린 경계 조건 하에서 유효하다.
• 비헤르미트 섭동이 전 inversion-반대 대칭이며 반대 펄스 모드의 디제너레이션 상태와 결합할 경우, $PT$ 붕괴 임계점은 0에 수렴하며, 이는 이득/손실이 임의로 작더라도 $PT$ 붕괴가 가능하게 한다.
• 수치적 및 해석적 결과는 $PT$ 붕괴 모드가 공간적으로 국소화되어 있으며 체계의 중심에서 벗어나며, 고유상태의 평균 위치는 오직 $PT$ 붕괴 모드에서만 이동함을 확인한다.