[論文レビュー] Schwinger-Keldysh path integral for the quantum harmonic oscillator

Yoni BenTov|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2021

Quantum Mechanics and Applications参考文献 77被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、量子調和振動子におけるシュヴィンガー＝ケルディッシュ形式主義の包括的な経路積分的導出を提供し、リンドブラッド型開系ダイナミクスの確率保存型iε規則を導入する。Larkin-Ovchinnikov経路積分を用いて、遷移振幅、2点相関関数、および時序外相関関数（OTOCs）の生成関数を体系的に導出し、基底状態、熱状態、および第一励起状態について明示的な計算を実施。二次的作用系において、影響位相およびグリーン関数の正確な表現が得られる。

ABSTRACT

I review the generating function for quantum-statistical mechanics, known as the Feynman-Vernon influence functional, the decoherence functional, or the Schwinger-Keldysh path integral. I describe a probability-conserving $i\varepsilon$ prescription from a path-integral implementation of Lindblad evolution. I also explain how to generalize the formalism to accommodate out-of-time-ordered correlators (OTOCs), leading to a Larkin-Ovchinnikov path integral. My goal is to provide step-by-step calculations of path integrals associated to the harmonic oscillator.

研究の動機と目的

• 量子統計力学におけるシュヴィンガー＝ケルディッシュ生成関数の教育的で段階的な経路積分的導出を提供すること。
• 経路積分を用いて、リンドブラッド型開系ダイナミクスの確率保存型iε規則を構築すること。
• Larkin-Ovchinnikov経路積分を用いて、シュヴィンガー＝ケルディッシュ形式主義を一般化し、時序外相関関数（OTOCs）を計算すること。
• 基底状態、熱状態、および第一励起状態における調和振動子の正確な影響位相およびグリーン関数を計算すること。
• クエンチされた調和振動子において、演算子的アプローチと経路積分的アプローチによるWightman関数およびOTOCsの一致を示すこと。

提案手法

• 時間に依存する質量を持つ調和振動子の遷移振幅および波動関数を、ファインマンの経路積分を用いて計算する。
• 時間経路を二重化し、前向き／後向き場を導入することでシュヴィンガー＝ケルディッシュ形式主義を適用し、期待値を計算する。
• 生成関数の対数として影響位相Φ(J, J′)を導出し、グリーン関数を用いてGF, GD, G<, G>の明示的表現を示す。
• 4つの場のコピーq0, q′0, q′′0, qf, q′f, q′′fを用いたLarkin-Ovchinnikov経路積分を用いて、OTOCsに一般化する。
• 確率保存を保証するため、作用に修正されたiε規則を導入し、複素質量および減衰項を含む。
• 古典的解および揺らぎに関する明示的経路積分を実行し、グリーン関数と境界条件を用いて完全な生成関数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、経路積分的手法を用いて調和振動子におけるシュヴィンガー＝ケルディッシュ経路積分を体系的に導出できるか？
• RQ2 基底状態、熱状態、第一励起状態における調和振動子の影響位相の形は何か？
• RQ3 リンドブラッド型開系ダイナミクスにおける確率保存を保つために、iε規則をどのように修正できるか？
• RQ4 二次的系において時序外相関関数（OTOCs）を計算するためのLarkin-Ovchinnikov経路積分の構造は何か？
• RQ5 クエンチされた調和振動子において、演算子的計算と経路積分的計算によるWightman関数およびOTOCsの比較はどのようなものか？

主な発見

• 基底状態における調和振動子の影響位相は、Φ(J, J′) = 1/2 ∫∫ dt dt′ [GF(t−t′)J(t)J(t′) − GD(t−t′)J′(t)J′(t′) − G<(t−t′)J(t)J′(t′) − G>(t−t′)J′(t)J(t′)] であり、G<(t) = i/(2m) e^{imt} および G>(t) = −i/(2m) e^{−imt} である。
• 熱状態では、追加の項∆(t) = 1/(e^{βm}−1) × i/m cos(mt) が影響位相に加わり、劣程度関数が G<(t) = G₀<(t) + ∆(t) と修正される。
• m(t < t₀) = m₀ および m(t > t₀) = m であるクエンチされたオシレーターでは、劣程度グリーン関数は G<(t, t′) = i/(2m₀) ζ(t−t₀)ζ*(t′−t₀)* で与えられ、ここで ζ(t) = ˙G(t) + m₀G(t) かつ G(t) = 1/m sin(mt) である。
• 第一励起状態では、非二次的影響位相が得られる：Φ(J, J′) = Φ₀(J, J′) − i ln[1 − 1/(2m) ∫∫ dt dt′ cos[m(t−t′)] (J(t)−J′(t))(J′(t)−J′(t′))] であり、非ガウス的挙動を示す。
• OTOCsを計算するためのLarkin-Ovchinnikov経路積分には、前向きおよび後向き場間の交差項が含まれ、GF, GD, G<, G>関数を含む一般化された影響位相が導入される。
• iε規則により、G<(t) = i/(2m) e^{i(1+sign(t)iε)mt} が得られ、減衰が存在する状況でもユニタリティおよび確率保存が保証される。