[論文レビュー] Second order gauge invariant discretizations to the Schrödinger and Pauli equations

Snorre H. Christiansen, Tore Gunnar Halvorsen|arXiv (Cornell University)|May 29, 2015

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限要素法と格子ゲージ理論を用いてシュレーディンガー方程式およびパウリ方程式を解くための2次精度でゲージ不変性を満たす有限要素法を提示する。ゲージポテンシャルに依存する有限要素空間を構築し、ゲージ依存のノルムを用いて解析することで、離散的ゲージ不変性を保ちつつ2次収束を達成する。これは、従来の1次精度法に比べて顕著な改善である。

ABSTRACT

We introduce a numerical method, based on finite elements and lattice gauge theory, to compute approximate solutions to Schrödinger and Pauli equations. The crucial geometric property of the method is discrete gauge invariance. The main new achievement is second order convergence. This is proved by interpreting the method as defined on gauge potential dependent finite element spaces and providing an analysis of such spaces in terms of gauge potential dependent norms on simplices of all dimensions.

研究の動機と目的

• 局所的U(1)変換における離散的ゲージ不変性を保つシュレーディンガー方程式およびパウリ方程式の数値解法の開発。
• 標準的なガレルキン有限要素法が1次収束にとどまるのを克服し、離散的H^1およびL^2ノルムにおいて2次収束を達成すること。
• ホイットニー形式とノード補間子を用いて、ゲージポテンシャルに依存する関数空間を扱えるように有限要素法を拡張すること。
• エネルギー準位や確率密度といった観測可能な量が、離散的設定においてもゲージ変換に対して不変であることを保証すること。
• 全次元の単体上に定義されたノルムを用いて、ゲージポテンシャルAに依存する有限要素空間の厳密な解析を提供すること。

提案手法

• 単体メッシュ上に、連続的かつアフィンな複素数値有限要素を用い、共変微分を $\nabla_A u = \nabla u + i A u$ と定義する。
• 離散的ゲージ不変性は、波動関数のゲージ変換を $u' = \Pi_h e^{i\alpha} u$ に修正することで達成され、ここで $\Pi_h$ はノード補間子であり、$u'$ が有限要素空間に残留することを保証する。
• 変分式は双線形形式 $a[u,v] = \int (\nabla_A u)^\dagger \cdot (\nabla_A v)$ および $\langle u,v \rangle = \int u^\dagger v$ を用い、変換則を修正することで離散的ゲージ不変性を維持する。
• 全次元の単体上に定義されたゲージポテンシャル依存のノルムを用いて解析を行い、2次収束の厳密な証明を可能にする。
• パウリ方程式の場合、スピンアイオー波動関数と $\vec{\sigma} \cdot \operatorname{curl} A$ 項を、要素上で定数近似することで離散化し、一貫性とゲージ不変性を確保する。
• ゲージポテンシャル $A$ をホイットニー1形式として近似することで、一定磁場において正確に表現可能となり、最適な収束が達成可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュレーディンガー方程式に対する有限要素法が、離散的ゲージ不変性を保ちつつ2次収束を達成できるか。
• RQ2 標準的な有限要素空間が局所的U(1)変換に対して不変でない場合、離散的設定でゲージ不変性をどのように維持できるか。
• RQ3 ゲージポテンシャルに依存する有限要素空間およびノルムが、高次収束を可能にする役割は何か。
• RQ4 本手法はスピンを含むパウリ方程式へも拡張可能であり、ゲージ不変性と2次収束を両立できるか。
• RQ5 ゲージポテンシャル $A$ のホイットニー形式による近似が、収束率を低下させない条件は何か。

主な発見

• 提案手法は、シュレーディンガー方程式においてH^1ノルムで2次収束、L^2ノルムでも2次収束を達成する。これは、標準的なガレルキン法が1次収束にとどまるのと比べ顕著な改善である。
• 波動関数のゲージ変換をノード補間子を用いた形に修正することで、離散的ゲージ不変性が保証され、変換後の解が有限要素空間に残留することが保証される。
• 全次元の単体上に定義されたノルムを用いたゲージポテンシャル依存の有限要素空間の解析が、2次収束の理論的基盤を提供する。
• 一定磁場の下では、$A$ のホイットニー1形式による近似が正確であり、ポテンシャル近似に起因する追加誤差が生じないため、完全な2次収束が達成可能である。
• 本手法はスピンを含むパウリ方程式へも拡張可能であり、$\vec{\sigma} \cdot \operatorname{curl} A$ 項とスカラー電位を、定数近似およびノード近似を適切に用いることで、2次収束とゲージ不変性を両立する。
• 適切な関数空間枠組みで解析を行うことで、ノード補間子を用いても、離散双線形形式の整合性が保たれ、変分的犯罪を回避する。