[論文レビュー] Seiberg-Witten Theory, Symplectic Forms, and Hamiltonian Theory of Solitons

Eric D’Hoker, I. M. Krichever+1 more|ArXiv.org|Dec 26, 2002

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 24被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、Laxペアを用いて可積分系に普遍的なシンプレクティック形式を確立し、超対称ゲージ理論におけるSeiberg-Witten理論とハミルトニアンソリトン理論を統一する。$\t$-関数と$\t$-正則化を用いた前処理の計算のための体系的枠組みを提供し、特にねじれモノドロミーを持つスピンチェーン模型において、リー代数とリー群によるシンプレクティック構造の実現の間の重要な曇りを解消する。

ABSTRACT

This is an expanded version of lectures given in Hangzhou and Beijing, on the symplectic forms common to Seiberg-Witten theory and the theory of solitons. Methods for evaluating the prepotential are discussed. The construction of new integrable models arising from supersymmetric gauge theories are reviewed, including twisted Calogero-Moser systems and spin chain models with twisted monodromy conditions. A practical framework is presented for evaluating the universal symplectic form in terms of Lax pairs. A subtle distinction between a Lie algebra and a Lie group version of this symplectic form is clarified, which is necessary in chain models.

研究の動機と目的

• 可積分系のSeiberg-Witten理論とソリトン可積分系のシンプレクティック構造を、普遍的構成によって統一すること。
• ねじれモノドロミーを持つモデルにおいて、不可欠なリー代数とリー群によるシンプレクティック形式の実現の違いを解消すること。
• $\t$-関数と$\t$-正則化を用いた、超対称ゲージ理論における前処理の実用的計算手法を提供すること。
• シンプレクティック枠組みを$2+1$次元ソリトン方程式、特にKadomtsev-Petviashvili階層に拡張すること。
• M理論と幾何的エンジニアリングから、新しい可積分モデル（たとえばねじれカルロゴ・モーザー系や一般化スピンチェーン）を構築すること。

提案手法

• スペクトル曲線と除数のモジュライ空間に普遍的なシンプレクティック形式を、スペクトルパラメータを有するLaxペアを用いて導出する。
• $\t$-正則化を適用して、前処理における1ループ補正を計算し、従来の方法で用いられる解析接続を回避する。
• 等モノドロミー変形とモノドロミー情報（ストークス行列、指数）を用いて、メロモーフィック接続上のシンプレクティック構造を定義する。
• 特異点近傍におけるLax方程式 $d\tilde{\t} = L\t$ の解 $\t$ と $\t_m$ を含む留数公式を通じてシンプレクティック形式を構成する。
• ゼロ曲率形式の高次元への拡張を用いて、$2+1$次元ソリトン系にこの枠組みを適用する。
• リー代数とリー群によるシンプレクティック形式の実現の違いを区別し、一般には等価であるが、チェーン模型では区別が不可欠であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可積分系に対して、ゼロ曲率方程式に基づく一般のハミルトニアン枠組みが欠落している中で、Laxペアから直接普遍的なシンプレクティック形式を構成する方法は何か？
• RQ2 可積分モデルにおけるリー代数とリー群によるシンプレクティック形式の実現の正確な関係は何か？そして、スピンチェーンにおいてなぜそれが重要なのか？
• RQ3 ${\t} = 2$超対称ゲージ理論における前処理を、シンプレクティック幾何学と$\t$-関数を用いて体系的に計算する方法は何か？
• RQ4 Seiberg-Witten理論のシンプレクティック構造を、KP階層のような$2+1$次元ソリトン方程式に拡張できるか？
• RQ5 超対称ゲージ理論とソリトン系の対応から、特にねじれモノドロミー条件を満たす場合にどのような新しい可積分モデルが生じるか？

主な発見

• Laxペアを用いた可積分系に対する普遍的なシンプレクティック形式が構築され、ゼロ曲率方程式に基づく一般のハミルトニアン枠組みの長年の欠落が解消された。
• ${\t} = 2$超ヤン・ミルズ理論における前処理は、Whitham階層の$\t$-関数であることが示され、1ループ補正は場の内容によって決定される。
• リー代数とリー群によるシンプレクティック形式の実現の違いが明確にされ、特に一般化スピンチェーンのようなねじれモノドロミーを持つモデルにおいてそれが不可欠であることが示された。
• シンプレクティック構造は$2+1$次元ソリトン系に拡張され、留数公式を通じてKadomtsev-Petviashvili階層のハミルトニアン形式が得られた。
• M理論と幾何的エンジニアリングから、シンプレクティック枠組みを用いて、ねじれカルロゴ・モーザー系やねじれモノドロミーを持つスピンチェーンを含む新しい可積分モデルが導出された。
• 2つの穴あきを持つ楕円曲線に対して、シンプレクティック形式は明示的に $\omega(A,B) = \mathrm{Tr}\big{(}B^{-1}\delta B \wedge \delta AA^{-1} - A^{-1}\delta A \wedge \delta BB^{-1} + \delta JJ^{-1} \wedge B^{-1}A^{-1}\delta(AB)\big{)}$ として計算され、既知の結果と整合することが確認された。