[論文レビュー] Semidefinite Representation of Convex Sets

J. William Helton, Jiawang Nie|ArXiv.org|May 28, 2007

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ひとこと要約

本稿では、凸的かつコンpactな半代数的集合が半定値計画法表現可能（SDP表現可能）であるための十分条件を確立している。これは、より高い次元空間における線形行列不等式（LMI）で定義される集合の射影として表現可能であることを意味する。主な貢献は、定義多項式の凹性に加え、正定値ラグランジュヘッシアン、sos-凹性、境界における正の曲率といった条件のもとでSDP表現可能性を証明することであり、強化されたポジティビスツェレーゼンの表現を用いている。

ABSTRACT

Let $S =\{x\in e^n: g_1(x)\geq 0, ..., g_m(x)\geq 0\}$ be a semialgebraic set defined by multivariate polynomials $g_i(x)$. Assume $S$ is convex, compact and has nonempty interior. Let $S_i =\{x\in e^n: g_i(x)\geq 0\}$, and $\bdS$ (resp. $\bdS_i$) be the boundary of $S$ (resp. $S_i$). This paper discusses whether $S$ can be represented as the projection of some LMI representable set. Such $S$ is called semidefinite representable or SDP representable. The contributions of this paper: {\bf (i)} Assume $g_i(x)$ are all concave on $S$. If the positive definite Lagrange Hessian (PDLH) condition holds, i.e., the Hessian of the Lagrange function for optimization problem of minimizing any nonzero linear function $\ell^Tx$ on $S$ is positive definite at the minimizer, then $S$ is SDP representable. {\bf (ii)} If each $g_i(x)$ is either sos-concave ($- abla^2g_i(x)=W(x)^TW(x)$ for some possibly nonsquare matrix polynomial $W(x)$) or strictly quasi-concave on $S$, then $S$ is SDP representable. {\bf (iii)} If each $S_i$ is either sos-convex or poscurv-convex ($S_i$ is compact convex, whose boundary has positive curvature and is nonsingular, i.e. $ abla g_i(x) ot = 0$ on $\bdS_i \cap S$), then $S$ is SDP representable. This also holds for $S_i$ for which $\bdS_i \cap S$ extends smoothly to the boundary of a poscurv-convex set containing $S$. {\bf (iv)} We give the complexity of Schmüdgen and Putinar's matrix Positivstellensatz, which are critical to the proofs of (i)-(iii).

研究の動機と目的

• 凸的かつコンパクトで、フル次元である半代数的集合が半定値計画法表現可能（SDP表現可能）であるための十分条件を特定すること。
• 高次元空間におけるLMIで定義される集合の射影として表現可能な凸集合はどのようなものかという未解決の問題に取り組むこと。
• 線形関数に依存しない、集合上で非負であるアフィン線形関数のポジティビスツェレーゼン表現における均一な次数の上限を確立すること。
• SDP表現可能性のための必要な幾何的条件（例：非負の曲率）と十分な代数的条件（例：sos-凹性、正の曲率）の間のギャップを埋めること。
• シュミューデゲンおよびプティナールの行列ポジティビスツェレーゼンを用いた、以前のLMIの高次元埋め込み表現に関する結果を拡張・強化すること。

提案手法

• 正定値ラグランジュヘッシアン（PDLH）条件を用いてラグランジュ関数の強い凸性を保証し、LMI表現の構築を可能にする。
• アフィン線形関数が集合上で非負であることを、行列多項式の平方和（SOS）として表現する、プティナールのポジティビスツェレーゼンの強化版を適用する。
• 「拡張可能poscurv-凸集合」という概念を導入し、境界における正の曲率条件を、より大きな凸集合に滑らかに拡張可能な集合へ一般化する。
• シュミューデゲンおよびプティナールの行列ポジティビスツェレーゼンを用いて、集合上で非負である関数の表現における均一な次数の上限を導出する。
• 元の集合を高次元空間におけるLMIで定義される集合の射影として埋め込むことで、高次元LMIを構築し、定義多項式のSOS分解を活用する。
• ヘッシアン解析と多項式近似技術を用いて、線形目的関数の選択に依存しない次数の上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸的かつコンパクトで、フル次元である半代数的集合が、高次元空間におけるLMIで定義される集合の射影としてSDP表現可能であるための条件は何か？
• RQ2 正定値ラグランジュヘッシアン（PDLH）条件は、凹多項式によって定義される凸集合についてもSDP表現可能性を保証できるか？
• RQ3 各定義集合 $S_i$ の境界におけるsos-凹性または正の曲率が、交わり $S$ のSDP表現可能性をどの程度保証するか？
• RQ4 SchmüdgenまたはPutinar型の表現において、集合上で非負であるアフィン関数の表現に、線形関数に依存しない均一な次数の上限を確立できるか？
• RQ5 境界の幾何的性質（例：正の曲率、非特異性）と、SDP表現可能性を保証する代数的性質（例：sos-凹性）との関係は何か？

主な発見

• すべての定義多項式 $g_i(x)$ が $S$ 上で凹であり、かつ正定値ラグランジュヘッシアン（PDLH）条件が成り立つならば、$S$ はSDP表現可能である。
• 各 $g_i(x)$ がsos-凹（つまり、$-\nabla^2 g_i(x) = W(x)^T W(x)$ を満たす行列多項式 $W(x)$ が存在する）であるか、$S$ 上で強く擬凹であるならば、$S$ はSDP表現可能である。
• 各 $S_i = \{x : g_i(x) \geq 0\}$ がsos-凸または拡張可能poscurv-凸（境界に正の曲率があり、非特異であり、より大きなposcurv-凸集合に滑らかに拡張可能）であるならば、$S$ はSDP表現可能である。
• 本稿では、SchmüdgenおよびPutinarの行列ポジティビスツェレーゼン表現の明示的な次数の上限を提供しており、入力多項式の次数に対して高々指数関数的に増加することを示している。
• ポジティビスツェレーゼン表現の複雑さは、多項式の次数およびヘッシアンの条件数に基づいて上限が与えられ、線形目的関数の選択に依存しない。
• 結果として、SDP表現可能性の十分条件が、必要条件に非常に近いことが示されている。なぜなら、境界における非負の曲率を要請するだけであり、これは凸性のための必要条件であるからである。