[論文レビュー] Shalom's property $H_{\mathrm{FD}}$ and extensions by $\mathbb{Z}$ of locally finite groups

Jérémie Brieussel, Tianyi Zheng|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、局所的に正規に有限な群の ℤ による有限生成群拡大が、シャロムの性質 $H_{\mathrm{FD}}$ を満たすことを確立し、シャロムの予想を解決するとともに、彼の有限ヒルシュ次元予想に対して反例を提示する。主な結果は、有限部分群に対する正規性条件が本質的であることを示しており、その条件がないと性質が成立しないこと、および拡散的である（superdiffusive）ランダムウォーク速度を示すアーメン群の新しい例を構成している。

ABSTRACT

We show that every finitely generated extension by $\mathbb{Z}$ of a locally normally finite group has Shalom's property $H_{\mathrm{FD}}$. This is no longer true without the normality assumption. This permits to answer some questions of Shalom, Erschler-Ozawa and Kozma. We also obtain a Neumann-Neumann embedding result that any countable locally finite group embedds into a two generated amenable group with property $H_{\mathrm{FD}}$.

研究の動機と目的

• 局所的に有限な群の ℤ による有限生成拡大が、シャロムの性質 $H_{\mathrm{FD}}$ を満たす条件を特定すること。
• シャロム、エルシュラー＝オザワ、コズマが提起した、局所的に有限な群の ℤ による拡大における $H_{\mathrm{FD}}$ に関する未解決問題を解決すること。
• アーメン群のうち $H_{\mathrm{FD}}$ を持ち、所望のランダムウォーク速度（特に拡散的挙動）を示す新しい例を構成すること。
• 可算な局所的に有限な群を、$H_{\mathrm{FD}}$ を持つ2生成元のアーメン群に埋め込むネウマン＝ネウマン型の結果を確立すること。

提案手法

• 局所的に正規に有限な群 $L$ を持つ有限生成群拡大 $1 \to L \to G \to \mathbb{Z} \to 1$ が、調和コサイクル解析と表現論を用いて $H_{\mathrm{FD}}$ を満たすことを証明する。
• ランダムウォーク速度と $μ$-調和関数に基づくエルシュラー＝オザワの $H_{\mathrm{FD}}$ 判別基準を用い、所望の速度関数 $f(n)$ を持つ群を構成する。
• 弱く混合する表現を伴う明示的な調和コサイクルを構成し、例えば $\mathrm{Sym}(\mathbb{Z})\rtimes\mathbb{Z}$ のような局所的に有限な群の ℤ による拡大では $H_{\mathrm{FD}}$ が成立しないことを示す。
• 調和コサイクルが FC-中心を通じて因数分解可能であることを示すグルネイの結果を応用し、エルシュラー＝オザワの基準では捉えきれない $H_{\mathrm{FD}}$ を持つ群を構築する。
• ブリオッセル＝ジェン（2015）の群の $\ell^p$-圧縮性および等周性の性質を用い、任意の非線形速度関数を実現する。
• コサイクル還元と有限次元表現の不変性を用いた背理法により、無限大で有限生成なアーメン群のワルフィング積 $H \wr G$ が $H_{\mathrm{FD}}$ を持たないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての局所的に有限な群の ℤ による拡大が、シャロムの性質 $H_{\mathrm{FD}}$ を持つか？
• RQ2 シャロムの予想（$H_{\mathrm{FD}}$ が有限ヒルシュ次元と同値である）は、可解群に対して正しいか？
• RQ3 拡散的ランダムウォーク速度を示す群が $H_{\mathrm{FD}}$ を持てるか？
• RQ4 エルシュラー＝オザワの速度基準を満たさないが $H_{\mathrm{FD}}$ を持つアーメン群は存在するか？
• RQ5 無限大で有限生成なアーメン群のワルフィング積は $H_{\mathrm{FD}}$ を持つか？

主な発見

• 任意の有限生成群拡大 $1 \to L \to G \to \mathbb{Z} \to 1$ で、$L$ が局所的に正規に有限な群であるとき、$G$ はシャロムの性質 $H_{\mathrm{FD}}$ を持つ。
• $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}^d$（$d \geq 3$）は有限ヒルシュ次元を持つが $H_{\mathrm{FD}}$ を持たないため、シャロムの予想の一方的反例である。
• 無限大ヒルシュ次元を持つ可解群が $H_{\mathrm{FD}}$ を持つ例が存在するため、シャロムの予想の逆も誤りである。
• 任意の部分加法的関数 $f$ で $f(x)/x \to 0$ を満たすものに対して、$H_{\mathrm{FD}}$ を持ち、ある対称測度 $\mu$ に対して $\mathbb{E}_{\mu^{(n)}}d(e,x) \geq c f(n)$（$c>0$）を満たす有限生成群 $\Delta$ が存在する。
• このような $\Delta$ におけるすべての非線形 $\mu$-調和関数は定数であるため、拡散的速度と非定数非線形調和関数の不在は同値でないことが示された。
• 無限大で有限生成なアーメン群のワルフィング積 $H \wr G$ は $H_{\mathrm{FD}}$ を持たない。これはコズマのフォルクロア的予想を確認する。