[論文レビュー] Simulation vs. Equivalence

Zoltán Ésik, Andreas Maletti|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2010

Logic, programming, and type systems参考文献 4被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、すべてのノエター的半体（ノエター的半体には可換環と有限半体が含まれる）が正しく、つまり、これらの半体上での同値な重み付きオートマトンは、常に有限のシミュレーションの鎖で接続可能であることを確立する。一方、トロピカル半体は正しくないことが示され、同値性がいかなる有限の鎖でも捉えられないことから、非正しくない半体の最初の既知の例を示している。

ABSTRACT

For several semirings S, two weighted finite automata with multiplicities in S are equivalent if and only if they can be connected by a chain of simulations. Such a semiring S is called "proper". It is known that the Boolean semiring, the semiring of natural numbers, the ring of integers, all finite commutative positively ordered semirings and all fields are proper. The semiring S is Noetherian if every subsemimodule of a finitely generated S-semimodule is finitely generated. First, it is shown that all Noetherian semirings and thus all commutative rings and all finite semirings are proper. Second, the tropical semiring is shown not to be proper. So far there has not been any example of a semiring that is not proper.

研究の動機と目的

• 自動体の同値性が有限のシミュレーションの鎖によって接続可能であるような、より広い半体のクラスを同定すること。
• すべての半体が正しくあるかどうかという長年の未解決問題を解明すること。
• 最適化で広く使われているトロピカル半体が正しくないことを確立し、反例を提供すること。
• 重み付きオートマトンにおける決定可能と決定不能な同値性問題の境界を明確にすること。

提案手法

• 同値なオートマトンが有限のシミュレーションの鎖で接続可能である場合、半体を正しくと定義する。
• すべての有限生成された半モジュールの部分半モジュールが有限生成であるような半体、すなわちノエター的半体の概念を導入する。
• 両方のオートマトン A と B にシミュレーションをもつ共通のシミュレーションオートマトン C の構成を用いて、すべてのノエター的半体が正しくあることを証明する。
• 有限半体と可換環がノエター的であることを示し、したがって正しくあることを示す。
• 有効な提示と半決定可能性の議論を用いて、オートマトン同値性の決定可能性を分析する。
• トロピカル半体 T が正しくないことを示すために、T 上でのオートマトン同値性問題が決定不能であることを証明し、鎖の条件と矛盾することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての半体が正しく、つまり任意の半体上での同値な重み付きオートマトンが常に有限のシミュレーションの鎖で接続可能であるか？
• RQ2 ノエター的半体は正しく性質を満たし、既知の正しくある半体に関する結果を一般化するために利用可能か？
• RQ3 組合せ最適化と形式言語理論で広く使われているトロピカル半体は正しくあるか？
• RQ4 トロピカル半体上でのオートマトン同値性の決定不能性を用いて、それが正しくないことを証明できるか？
• RQ5 有効な提示、半決定性、および正しさの間の関係は何か？

主な発見

• すべてのノエター的半体は正しく、これはすべての可換環と有限半体を含む。
• 有限半体はノエター的であるため、正しくあり、シミュレーションの鎖は決定的オートマトンで構成可能である。
• トロピカル半体 T = (N ∪ {∞}, min, +, ∞, 0) は正しくない。これは、T 上でのオートマトン同値性が決定不能であることで示されている。
• T 上での同値性の決定不能性は、すべての同値なオートマトンを接続する有限のシミュレーションの鎖が存在しないことを意味し、正しさの条件を破る。
• これは、正しくない半体の最初の既知の例を提供し、長年の未解決問題を解決する。
• この結果は、トロピカル半体では、シミュレーションに基づく同値性検査が完全でないことを示唆しているが、半決定可能である。