[論文レビュー] Singularity formation for Burgers equation with transverse viscosity

Charles Collot, Tej‐Eddine Ghoul+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2018

Stability and Controllability of Differential Equations被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、横方向の粘性を持つ2次元バーガース方程式の解の族を構築し、特異性が有限時刻に発生することを特徴づけている。特異性は勾配の爆発によって生じる。本稿では、双曲型方向における自己相似的ダイナミクスと横方向における放物型発展を組み合わせた新しい枠組みを導入し、爆発プロファイルがx方向に後向き自己相似解に従い、スケーリングパラメータが二次非線形放物型方程式に従って変化することを示している。

ABSTRACT

We consider Burgers equation with transverse viscosity $$\partial_tu+u\partial_xu-\partial_{yy}u=0, \ \ (x,y)\in \mathbb R^2, \ \ u:[0,T) imes \mathbb R^2 ightarrow \mathbb R.$$ We construct and describe precisely a family of solutions which become singular in finite time by having their gradient becoming unbounded. To leading order, the solution is given by a backward self-similar solution of Burgers equation along the $x$ variable, whose scaling parameters evolve according to parabolic equations along the $y$ variable, one of them being the quadratic semi-linear heat equation. We develop a new framework adapted to this mixed hyperbolic/parabolic blow-up problem, revisit the construction of flat blow-up profiles for the semi-linear heat equation, and the self-similarity in the shocks of Burgers equation.

研究の動機と目的

• 横方向粘性を有する2次元バーガース方程式における有限時刻特異性形成の解析。これは、混合双曲型・放物型系である。
• 勾配が無限大に発散する際の爆発プロファイルの正確な構造の記述。
• 混合双曲型・放物型爆発問題に対する新しい解析的枠組みの構築。
• 爆発ダイナミクスを、非粘性バーガース方程式の自己相似解および二次非線形放物型方程式の解と関連付けること。
• プラントル境界層方程式における特異性形成の理解の基盤を提供すること。

提案手法

• x変数に沿った後向き自己相似的アンザッツを用いて解を構築し、スケーリングパラメータがy変数における放物型方程式に従って変化する。
• 摂動的アプローチを用いてスケーリングパラメータの変化を導出し、それが二次非線形放物型方程式を満たすことを示した。
• エネルギー推定と不動点議論を用いて、s ≥ 3 におけるソボレフ空間 H^s における局所的適切性を確立した。
• 重み付きノルムと漸近的解析を用いて、非線形放物型方程式の平坦な爆発プロファイルの再考を行った。
• ライブニッツの定理と数学的帰納法を用いて、自己相似プロファイルとスケーリング因子を含む合成関数の微分を制御した。
• Z および X がスケーリングされた空間変数であるとき、|Z| および |X| を含むノルムを用いて、解の微分に対する重み付き推定を確立した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 横方向粘性は、非粘性の場合と比較して、バーガース方程式における有限時刻特異性形成の性質をどのように変化させるか？
• RQ2 横方向粘性下で有限時刻に爆発する解の正確な漸近的構造は何か？
• RQ3 自己相似的爆発プロファイルにおけるスケーリングパラメータの時間発展は、放物型偏微分方程式で記述可能か？ もしそうならば、どの方程式か？
• RQ4 混合双曲型・放物型爆発問題を統一的に扱う枠組みをどのように構築できるか？
• RQ5 このモデルは、プラントル境界層方程式に関連する特異性ダイナミクスをどの程度正確に捉えているか？

主な発見

• 解は、勾配が爆発することにより有限時刻に特異的になる。爆発基準は lim sup_{t↑T} ||∂x u||_{L∞} = ∞ で与えられる。
• 主要な振る舞いは、x方向に非粘性バーガース方程式の後向き自己相似解に従い、スケーリングパラメータはy方向に二次非線形放物型方程式に従って変化する。
• 自己相似プロファイル Ψ_i は、奇関数で単調減少かつ解析的であり、Ψ_1 はXと平方根項を含む立方根の明示的表現で与えられる。
• 爆発プロファイルは小刻みな摂動に対して安定であり、解の特異点近傍における振る舞いを制御する重み付き推定が確立された。
• この枠組みは、双曲型的ショック形成と放物型的平滑化の相互作用をうまく扱い、非線形偏微分方程式における爆発に関する既知の結果を拡張した。
• 解析により、横方向粘性が爆発を防がないが、その構造を変化させ、スケーリングパラメータの放物型的進化に埋め込むことが確認された。