[論文レビュー] Singularization of knots and closed braids

Thomas Fiedler|arXiv (Cornell University)|May 21, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 55被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、符号付き平面的二重点をもつ特異な長結びの $\mathbb{Z}[x,x^{-1}]$-加群値で、非自明な組合せ的1-コサイクルを初めて構成した。これは、長結びの位相的モジュライ空間における非自明なコホモロジー類を表しており、サテライト結びや合成結びの非自明な位相的構造を検出する。特に、フォックス＝ハッチャーループやトレイフォイル・ドラッグィング・ループを含む、さまざまなループに対して有効である。さらに、このコサイクルから得られる標準的二次形式に対して、クラスカル＝ヴォーゲルのHOMFLYPT多項式を評価することで、新しい3変数結び多項式が得られる。

ABSTRACT

We construct the first combinatorial 1-cocycle with values in the $ \mathbb{Z} [x,x^{-1}]$-module of isotopy classes of singular long knots in 3-space with a signed planar double point, and which represents a non trivial cohomology class in the topological moduli space of long knots. It can be interpreted as an invariant with values in a $ \mathbb{Z} [x,x^{-1}]$-module generated by 3-manifolds for each element of infinite order of the mapping class group of the complement of a satellite knot in $S^3$. The 1-cocycle seems to be trivial on all loops for long knots which are not satellites but it is already non trivial on the Fox-Hatcher loop of any composite knot, on the loop which consists of {\em dragging} a trefoil through another trefoil and on the {\em scan-arc} for the 2-cable of the trefoil. The {\em canonical resolution} of the value of the 1-cocycle for dragging a knot through another knot leads to a symmetric bilinear form on the free $ \mathbb{Z} [x,x^{-1}]$-module of all unframed oriented knot types into itself. We conjecture that its radical contains only the trivial knot. Evaluating e.g. the Kauffman-Vogel HOMFLYPT polynomial for singular knots on the value of the 1-cocycle applied to the associated quadratic form, leads to a couple of new 3-variable knot polynomials. We construct also the first non trivial 1-cocycle for those closed positive 4-braids which contain a half-twist. It takes its values in a symmetric power of the $ \mathbb{Z}$-module of isotopy classes of closed positive 4-braids with a double point.

研究の動機と目的

• 符号付き平面的二重点をもつ特異な長結びの $\mathbb{Z}[x,x^{-1}]$-加群値で、組合せ的1-コサイクルを構成すること。
• この1-コサイクルが、長結びの位相的モジュライ空間における非自明なコホモロジー類を表していることを示すこと。
• この1-コサイクルが、例えばフォックス＝ハッチャーループやトレイフォイル・ドラッグィング・ループを含む、合成結びやサテライト結びに関連するループに対して非自明であることを実証すること。
• 1-コサイクルの値の標準的解消を定義し、フレームレス向き付き結び型の自由 $\mathbb{Z}[x,x^{-1}]$-加群上での対称的双一次形式を導出すること。
• この双一次形式の核が自明な結びのみを含むと予想し、その双一次形式へのクラスカル＝ヴォーゲルのHOMFLYPT多項式の評価を通じて、新しい結び多項式を探索すること。

提案手法

• 符号付き平面的二重点をもつ特異な長結びの同値類を用いた、組合せ的に1-コサイクルを構成する。
• このコサイクルの値は、$S^3$ 内のサテライト結びの補空間の写像類群における無限位数の要素に関連する3次元多様体によって生成される $\mathbb{Z}[x,x^{-1}]$-加群に値をとる。
• 1-コサイクルの値の標準的解消により、フレームレス向き付き結び型の自由 $\mathbb{Z}[x,x^{-1}]$-加群上での対称的双一次形式が得られる。
• この双一次形式を用いて二次形式を定義し、その後、クラスカル＝ヴォーゲルのHOMFLYPT多項式を用いて評価することで、新しい3変数結び多項式が得られる。
• 閉じた正の4ブレードに半回転を含む場合、その二重点をもつようなブレードの同値類の $\mathbb{Z}$-加群の対称冪に値をとる非自明な1-コサイクルが構成される。
• この構成は、特に特異結びとブレードに注目した、結びの理論における位相的不変量と代数的構造に依拠している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 符号付き平面的二重点をもつ特異な長結びの $\mathbb{Z}[x,x^{-1}]$-加群値で、長結びのモジュライ空間における非自明なコホモロジー類を表す非自明な組合せ的1-コサイクルが存在するか？
• RQ2 合成結びまたはサテライト結びに関連するループ（例えばフォックス＝ハッチャーループやトレイフォイル・ドラッグィング・ループ）に対して、この1-コサイクルが非自明であるか？
• RQ3 1-コサイクルの値の標準的解消が、フレームレス向き付き結び型の加群上での対称的双一次形式を定義できるか？また、その核の意味は何か？
• RQ4 この双一次形式にクラスカル＝ヴォーゲルのHOMFLYPT多項式を評価することで、区別力を持つ新しい3変数結び多項式が得られるか？
• RQ5 半回転を含む閉じた正の4ブレードに対して、非自明な1-コサイクルを構成できるか？そのターゲット加群は何か？

主な発見

• 構成された1-コサイクルは、任意の合成結びのフォックス＝ハッチャーループに対して非自明であり、合成構造への感受性を示している。
• 1-コサイクルは、トレイフォイルを別のトレイフォイルにドラッグするループに対しても非自明であり、非自明なブレード的ダイナミクスの検出を示している。
• 1-コサイクルは、トレイフォイルの2-ケーブルのスキャンアークに対しても非自明であり、ケーブル構造への感受性を示している。
• 1-コサイクルの値の標準的解消により、フレームレス向き付き結び型の自由 $\mathbb{Z}[x,x^{-1}]$-加群上での対称的双一次形式が得られる。
• 本稿では、この双一次形式の核に自明な結びしか含まれないとの予想を提示しており、これは一意性および強い不変性の可能性を示唆している。
• 1-コサイクルから得られる二次形式に対して、クラスカル＝ヴォーゲルのHOMFLYPT多項式を評価することで、区別力を持つ新しい3変数結び多項式が得られる。