[论文解读] Slow-fast stochastic diffusion dynamics and quasi-stationary distributions for diploid populations

Camille Coron|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2013

Evolution and Genetic Dynamics参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文通过慢-快随机扩散模型研究了具有有性生殖的二倍体种群的长期行为。证明了等位基因频率过程收敛于具有可变种群大小和二倍体选择的广义Wright-Fisher扩散过程，并在非灭绝条件下的假设下建立了唯一拟平稳分布的存在性，数值验证涵盖中性、超显性及生态位特异性情形。

ABSTRACT

We are interested in the long-time behavior of a diploid population with sexual reproduction, characterized by its genotype composition at one bi-allelic locus. The population is modeled by a 3-dimensional birth-and-death process with competition, cooperation and Mendelian reproduction. This stochastic process is indexed by a scaling parameter $K$ that goes to infinity, following a large population assumption. When the birth and natural death parameters are of order $K$, the sequence of stochastic processes indexed by $K$ converges toward a slow-fast dynamics. We indeed prove the convergence toward 0 of a fast variable giving the deviation of the population from Hardy-Weinberg equilibrium, while the sequence of slow variables giving the respective numbers of occurrences of each allele converges toward a 2-dimensional diffusion process that reaches $(0,0)$ almost surely in finite time. We obtain that the population size and the proportion of a given allele converge toward a generalized Wright-Fisher diffusion with varying population size and diploid selection. Using a non trivial change of variables, we next study the absorption of this diffusion and its long time behavior conditioned on non-extinction. In particular we prove that this diffusion starting from any non-trivial state and conditioned on not hitting $(0,0)$ admits a unique quasi-stationary distribution. We finally give numerical approximations of this quasi-stationary behavior in three biologically relevant cases: neutrality, overdominance, and separate niches.

研究动机与目标

• 分析具有有性生殖和随机出生-死亡过程的大规模二倍体种群的长期遗传动力学。
• 建立在种群规模 K → ∞ 时，缩放后的三维出生-死亡过程收敛于慢-快扩散极限。
• 表征在非灭绝条件下的极限扩散过程的拟平稳行为。
• 证明在存在二倍体选择和可变种群大小的情况下，等位基因频率过程存在且唯一拟平稳分布。
• 提供在生物学相关情景下（中性、超显性、不同生态位）拟平稳行为的数值近似。

提出的方法

• 通过大种群尺度参数 K 索引的三维出生-死亡过程对具有三种基因型（AA、Aa、aa）的二倍体种群进行建模。
• 引入一个快速变量 Y^K，表示偏离哈代-温伯格平衡的程度，当 K → ∞ 时，其收敛于 0。
• 推导出表示种群大小和等位基因 A 频率的慢变量过程 (N^K_t, X^K_t)，其在分布上收敛于二维扩散过程 (N_t, X_t)。
• 应用非平凡的变量变换 S = (f1(N,X), f2(N,X))，将慢变量过程转化为 R² 中的柯尔莫哥洛夫扩散过程。
• 利用 Cattiaux 等人（2009）的结果，分析在不吸收至灭绝（0）或固定（X=0 或 X=1）条件下的 S_t 的拟平稳行为。
• 以选择和种群参数的形式推导出极限扩散过程的漂移和扩散系数的显式表达式，中性情形下进行解析处理，非中性情形则在附录中给出。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有有性生殖的大规模二倍体种群中，等位基因频率过程是否收敛于具有可变种群大小和二倍体选择的广义Wright-Fisher扩散过程？
• RQ2 在非灭绝条件下，极限扩散过程是否具有唯一的拟平稳分布？
• RQ3 即使在缺乏杂合子优势的情况下，两个等位基因的长期共存是否仍能在完全竞争下维持？
• RQ4 在中性情形、超显性情形以及生态位特异性情形下，拟平稳分布的行为如何？
• RQ5 在生物学上相关的参数区域内，能否推导出拟平稳分布的数值近似？

主要发现

• 快速变量 Y^K_t（衡量偏离哈代-温伯格平衡的程度）在 K → ∞ 时几乎必然收敛于 0。
• 慢变量过程 (N^K_t, X^K_t) 在分布上收敛于二维扩散过程 (N_t, X_t)，该过程为具有二倍体选择和可变种群大小的广义Wright-Fisher扩散过程。
• 极限扩散过程 (S_t) 几乎必然在有限时间内被吸收至集合 {X=0} ∪ {X=1} ∪ {N=0}，分别对应固定或灭绝。
• 在不被吸收至 {N=0} 的条件下，过程 (S_t) 存在唯一拟平稳分布，且与初始状态 S_0 无关。
• 数值结果证实，在中性情形、超显性情形以及生态位特异性情形下，即使在完全竞争下，等位基因的长期共存依然成立。
• 在非中性情形下，拟平稳分布被证明是非平凡且稳定的，中性情形下给出了显式解析表达式，非中性情形则在附录 A 中推导。