[論文レビュー] Solvable lattice model for (2+1)D bosonic topological insulator

Yusuke Horinouchi|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2020

Topological Materials and Phenomena参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、コボルディズム群のスペクトル系列解析に基づく装飾されたドメインウォール構成を用いて、U(1) × ℤ₂ᵀ 対称性で保護される (2+1)D ボソン的トポロジカル绝缘体相の正確に解ける可換射影子ハミルトニアンを構築する。このモデルは非自明なトポロジカル位相を実現し、πフラックスを挿入した半無限円筒幾何における境界でのクレマー二重項の出現により、非オンサイト対称性実現による表面異常を示し、熱力学的極限におけるギャップレス境界位相を通じて異常マッチングを実現する。

ABSTRACT

We construct an exactly sovable commuting projector Hamiltonian for (2+1)D bosonic topological insulator which is one of symmetry-protected topological (SPT) phases protected by U(1) and time-reversal $\mathbb{Z}_2^T$ symmetry, where the symmetry group is U(1)$ times\mathbb{Z}_2^T$. The model construction is based on the decorated domain-wall interpretation of the $E_{\infty}$-page of a spectral sequence of a cobordism group that classifies the SPT phases in question. We demonstrate nontriviality of the model by showing an emergence of a Kramers doublet when the system is put on a semi-infinite cylinder $(-\infty,0] imes S^1$ with an inserted $π$-flux. The surface anomaly manifests itself as a non-onsite representation of the U(1)$ times\mathbb{Z}_2^T$ symmetry. Anomaly matching on a boundary is discussed within a simple boundary theory.

研究の動機と目的

• U(1) × ℤ₂ᵀ 対称性で保護される (2+1)D ボソン的トポロジカル絶縁体相の正確に解ける格子模型を構築すること。これは、広範な理論的考察にもかかわらず、長きにわたり未解決の問題であった。
• 抽象的な群環を用いる既存の構成とは異なり、物理的自由度（スピン／ハードコアボソン）を用いて位相の明確な実現を達成すること。
• 半無限円筒幾何におけるπフラックス挿入時にクレマー二重項が出現することにより、非自明なトポロジカル応答を示すことで、その非自明性を実証すること。
• 境界における U(1) × ℤ₂ᵀ 対称性の非オンサイト実現を通じて表面異常の存在を確立し、異常マッチングを確認すること。
• 境界理論を分析し、表面位相がギャップレスまたは時間反転対称性を自発的に破るかを示し、異常マッチングと整合すること。

提案手法

• コボルディズム理論におけるスペクトル系列の E∞-頁に基づき、codimension-2 異常（ドメインウォール）に 0+1D SPT位相を装飾する装飾されたドメインウォール構成を用いる。
• 局所的スピン自由度（ハードコアボソン）を用いて可換射影子ハミルトニアンを構築し、射影子による保証により正確に解けることと、一意な基底状態を実現する。
• 関連するコボルディズム群を計算するためのスペクトル系列アプローチを適用し、SPT位相の分類を H²(ℤ₂; H²(U(1); ℤ)) ≃ ℤ₂ として同定する。
• πフラックスを有する半無限円筒上での系の解析により、非自明なバルク応答に起因して境界にクレマー二重項が実現することを示す。
• 境界における対称性実現が非オンサイトであることを導出し、't Hooft異常の存在を確認する。また、1+1D 表面ハミルトニアンを用いて異常マッチングを研究する。
• ITensor ライブラリを用いた密度行列逐次縮約法（DMRG）を用いて表面ハミルトニアンを数値的に解析し、パラメータ空間全域におけるエネルギーギャップと秩序パラメータを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 U(1) × ℤ₂ᵀ 対称性を有する (2+1)D ボソン的トポロジカル絶縁体の正確に解ける格子模型を、物理的スピン自由度を用いて構築可能か？
• RQ2 この模型は、半無限幾何におけるπフラックス挿入時に、クレマー二重項の出現を示す非自明なトポロジカル応答を示すか？
• RQ3 表面異常は、境界における U(1) × ℤ₂ᵀ 対称性の非オンサイト実現として顕在化するか？
• RQ4 境界理論は異常マッチングを満たすか、すなわち熱力学的極限においてギャップレスまたは時間反転対称性を自発的に破るか？
• RQ5 DMRGシミュレーションからの数値的証拠は、異常と整合するギャップレス境界位相の存在を支持するか？

主な発見

• モデルは局所的スピン自由度（ハードコアボソン）から構築された可換射影子ハミルトニアンにより、(2+1)D ボソン的トポロジカル絶縁体位相を実現し、正確に解けることと一意な基底状態を保証する。
• πフラックスを有する半無限円筒上に配置した系は、境界にクレマー二重項を支持し、非自明なトポロジカル応答を確認する。
• U(1) × ℤ₂ᵀ 対称性は境界で非オンサイトに実現され、バルク SPT 位相と整合する 't Hooft 異常を示す。
• 表面ハミルトニアンの DMRG シミュレーションにより、D ≲ 0 の領域で近似的にゼロに近いエネルギーギャップが観測され、ギャップレスまたは自発的対称性破れ位相を示す。
• エネルギーギャップはほとんどのパラメータで 1/L のスケーリングを示し、外挿により熱力学的極限でギャップが 10⁻² 未満であることが示唆され、ギャップレス境界位相の存在を支持する。
• DMRG データにおける特異点が明確な外挿を妨げるが、全体的なトレンドはギャップレス境界の存在を支持し、異常マッチングと整合する。