[論文レビュー] Some ergodic properties of metrics on hyperbolic groups

Uri Bader, Alex Furman|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、非自明なグロモフ双曲群の境界および境界点の異なる対の空間への作用の遍歴的性質を、構築された測地線フローの類似物を用いて確立する。境界作用の相対的安定性および弱混合性を証明し、古典的な負曲率多様体の設定を超えた一般の計量構造に対しても遍歴的性質を拡張する。

ABSTRACT

Let $Γ$ be a non-elementary Gromov-hyperbolic group, and $\partial Γ$ denote its Gromov boundary. We consider $Γ$-invariant proper $δ$-hyperbolic, quasi-convex metric $d$ on $Γ$, and the associated Patterson-Sullivan measure class $[ν]$ on $\partial^{(2)}Γ$, and its square $[ν imesν]$ on $\partial^{(2)}Γ$ -- the space of distinct pairs of points on the boundary. We construct an analogue of a geodesic flow to study ergodicity properties of the $Γ$-actions on $(\partialΓ,ν)$ and on $(\partial^{(2)}Γ,[ν imesν])$.

研究の動機と目的

• 負曲率多様体上での測地線フローの遍歴的性質を、任意の適切で $δ$-双曲的かつ準凸的計量を持つグロモフ双曲群の設定に一般化すること。
• 構築された測地線フロー類似物を用いて、$̼𝕃$-作用が境界 $∂\u033c𝕃$ および $∂^2\u033c𝕃$ に与える相対的安定性および弱混合性（SAT）性質を確立すること。
• パターソン＝サリバン測度クラスに関して、境界作用が相対的計量遍歴的であり、相対的安定性および弱混合性（SAT）性質を満たすことを証明すること。
• 幾何的文脈（例：負曲率多様体）から既知の結果を、語の計量やグリーン計量を含む一般の粗幾何的設定へと拡張すること。

提案手法

• 双曲空間 $M$ 内の準測地線の力学を用いて、${\partial^2\Gamma} \times \mathbb{R}$ 上に測地線フローの類似物としてのフロー的力学系を構築する。
• 測度空間 $M$ 内の球の体積の漸近的成長率として、成長指数 $\delta_\Gamma$ を定義し、基点や同値類 $[d]$ 内の代表計量に依存しないことを示す。
• 境界 $\partial\Gamma$ 上のパターソン＝サリバン測度クラス $[\nu^{\text{PS}}]$ 及び $\partial^2\Gamma$ 上のその平方 $[\nu^{\text{PS}} \times \nu^{\text{PS}}]$ を定義し、群作用に関して不変であることを示す。
• ボーディング＝マーガリス測度 $\mu^{\text{BM}}$ を用いて、$X = \partial^2\Gamma \times \mathbb{R}$ 上に誘導されるフローの再帰性と混合性を分析するため、ポincare再帰定理を適用する。
• 収縮する球上の平均および重み付き和の収束を用いて、群元による測度の押し出し写像が吸引固定点におけるディラック測度に近づくことを示す。
• 相対的遍歴理論および相対的SAT性質の理論を用いて、射影 $\operatorname{pr}_-, \operatorname{pr}_+ : \partial^2\Gamma \to \partial\Gamma$ が相対的計量遍歴的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明なグロモフ双曲群の境界への作用が、パターソン＝サリバン測度クラスに関して相対的安定性および弱混合性（SAT）性質を満たすか。
• RQ2 負曲率多様体上での測地線フローの遍歴的性質を、任意の適切で $\delta$-双曲的かつ準凸的計量を持つ双曲群へ一般化できるか。
• RQ3 測地線フロー類似物を用いて $\partial^2\Gamma$ に上へ上げた作用が、相対的計量遍歴的か。
• RQ4 成長指数 $\delta_\Gamma$ は、群作用の境界上での遍歴的性質を決定づける役割を果たすか。
• RQ5 構築された測地線フロー類似物の力学は、系の弱混合性および再帰性の性質とどのように関係するか。

主な発見

• $\Gamma$ の $(\partial\Gamma, [\nu^{\text{PS}}])$ 上の作用は、相対的計量遍歴的である。これは、任意の不変関数が測度クラスに関してほとんど everywhere で定数でなければならないことを意味する。
• 射影 $\operatorname{pr}_-, \operatorname{pr}_+ : \partial^2\Gamma \to \partial\Gamma$ は、相対的安定性および弱混合性（SAT）を満たす。これは、測度クラス $[\nu^{\text{PS}} \times \nu^{\text{PS}}]$ に関して強い混合性を示唆する。
• 任意の可測集合 $A \subset \partial^2\Gamma$ が正の測度を持つとき、$g \in \Gamma$ および $\operatorname{pr}_-(A) \cap g(\operatorname{pr}_-(A))$ の正の測度部分集合 $B$ が存在し、すべての $\xi \in B$ に対して $\nu(g^{-1}A^+_{\xi}) > 1 - \epsilon$ が成り立つ。これはSAT性質の確認である。
• 任意のエゴード的p.m.p.系 $\Omega$ に対して、$X \times \Omega$ 上に誘導されるフローは、境界作用の相対的計量遍歴性のおかげでエゴード的である。
• 中心が $x_+$ である収縮する球上の関数 $h$ の平均の極限は 0 に近づく。これは、$\gamma_{n,x}^{-1}$ による測度の押し出し写像が弱収束で $x_+$ におけるディラック測度に収束することを示唆し、遍歴的性質の証明を支持する。
• 構築された測地線フロー類似物により、$\Gamma$-作用が $\partial^2\Gamma$ 上で積測度クラス $[\nu^{\text{PS}} \times \nu^{\text{PS}}]$ に関して遍歴的であることが保証され、古典的結果が一般の双曲群作用へと拡張される。