[論文レビュー] Some global results for asymptotically simple spacetimes

Gregory J. Galloway|ArXiv.org|Aug 30, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、正でない宇宙定数を満たす真空アインシュタイン方程式を満たす漸近的にシンプルな時空に対して、剛性定理を確立する：このような時空が完全なヌルライン（拡張不能な因果的でないヌル測地線）を含むならば、それは Λ=0 の場合にミンコフスキー空間、Λ>0 の場合にド・シーター空間に等長である必要がある。この結果はヌルスプリット定理から導かれ、1本のヌルラインの存在が、グローバルな対称性と最大の時空構造を強制することを示している。

ABSTRACT

The null splitting theorem (proved in math.DG/9909158) is discussed. As an application, a uniqueness theorem for Minkowski space and for de Sitter space associated with the occurrence of null lines (inextendible globally achronal null geodesics) is presented.

研究の動機と目的

• 正の宇宙定数を含む真空アインシュタイン方程式を満たす漸近的にシンプルな時空に対して、グローバルな剛性結果を確立すること。
• ヌルエネルギー条件を満たす時空における完全なヌルラインの存在が及える因果的および幾何的結果を調査すること。
• 1本の完全なヌルラインの仮定の下で、ミンコフスキー空間およびド・シーター空間の一意性を探索すること。
• スクリの近傍における因果的未来の振る舞いを分析することで、ド・シーター空間における因果構造の壊れやすさを検討すること。
• 剛性結果を物質場や弱い漸近的条件を含むように一般化する可能性を検討すること。

提案手法

• ヌルエネルギー条件の下でヌル測地線が完全な時空に対して、[8]のヌルスプリット定理を基礎とする剛性結果を用いる。
• 時空を $\tilde{M} = M \cup \mathscr{I}$ という境界付き多様体にコンフォール的に拡張する技術を適用する。ここで $\mathscr{I}$ は未来または過去のヌル無限遠である。
• コンフォール因子 $\Omega$ を用い、$\tilde{g} = \Omega^2 g$ と定義する。$\Omega > 0$ で $M$ 上、$\Omega = 0$ かつ $d\Omega \neq 0$ で $\mathscr{I}$ 上にあり、滑らかなヌル無限遠を保証する。
• コンフォール等長写像 $\phi$ を用いて、コンフォール的コンactification $\tilde{M}$ における破れたヌル測地線ホモトピーを元の時空 $M$ に持ち上げる。
• 時空 $\tilde{M}$ における測地線の完全性を用いて、$M$ における測地線の延長可能性を示し、長さが減少する破れたヌルセグメントの収束に依存する。
• $\mathscr{I}^{-}$ の近傍における因果構造を分析し、ヌルラインが存在しない場合には、過去のヌル無限遠に近い点 $p$ に対して $\partial J^{+}(p)$ がコンパクトであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1本の完全なヌルラインの存在が、時空をミンコフスキー空間またはド・シーター空間に等長にするような、どのようなグローバルな条件下で成立するか？
• RQ2 ヌルエネルギー条件は、漸近的にシンプルな時空におけるヌルラインのグローバル存在とどのように作用するか？
• RQ3 剛性定理における真空仮定を物質場を含むように弱める場合、一意性の結果を保つにはどの程度まで弱められるか？
• RQ4 ブラックホールや特異点を許容する弱く漸近的にシンプルな時空に対しても、剛性結果を拡張できるか？
• RQ5 ヌルエネルギー条件を満たす漸近的にシンプルな時空において、$\mathscr{I}^{\pm}$ の位相的および因果的意味は何か？

主な発見

• 漸近的にシンプルで $\mathrm{Ric} = \lambda g$ を満たし、$\lambda \geq 0$ である時空が完全なヌルラインを含むならば、$\lambda = 0$ の場合はミンコフスキー空間に等長であり、$\lambda > 0$ の場合はド・シーター空間に等長である。
• この結果は、ド・シーター初期データの微小な摂動がすべてのヌルラインを破壊することを示しており、因果構造が初期データに対して極めて感受性であることを示している。
• $\lambda = 0$ の場合、ミンコフスキー空間は唯一知られている漸近的にシンプルな真空解であり、他のような解は必然的にヌルラインを欠如している。
• ド・シーター型時空でヌルラインが存在しない場合、$\mathscr{I}^{-}$ に近い点 $p$ に対して $\partial J^{+}(p)$ はコンパクトであるが、これは標準的なド・シーター空間における非コンパクト性とは対照的である。
• 証明は、コンフォール的コンパクト化 $\tilde{M}$ から元の時空 $M$ に破れたヌル測地線のホモトピーを、コンフォール等長写像と測地線の完全性を用いて持ち上げることに依存する。
• ヌルスプリット定理はコンフォール的設定で適用され、局所的なヌルラインの存在とヌルエネルギー条件から、グローバルな対称性と剛性を導く。