[論文レビュー] Some upper and lower bounds on PSD-rank

Troy Lee, Zhaohui Wei+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2014

graph theory and CDMA systems参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、正定値行列ランク（PSD-rank）の新たな上界と下界を確立し、行列要素に依存するが支持パターン（非ゼロ要素の配置）に依存しない、量子通信に基づく技術を導入する。内積行列 $\ mathrm{IP}_n$ の PSD-rank が偶数 $n$ の場合 $2\sqrt{N}$ 以下であり、奇数 $n$ の場合 $\frac{3}{2}\sqrt{2}\sqrt{N}$ 以下であることを証明し、通信複雑性における重要な未解決問題を解消し、従来の支持のみに基づく手法を超えた境界を拡張する。

ABSTRACT

Positive semidefinite rank (PSD-rank) is a relatively new quantity with applications to combinatorial optimization and communication complexity. We first study several basic properties of PSD-rank, and then develop new techniques for showing lower bounds on the PSD-rank. All of these bounds are based on viewing a positive semidefinite factorization of a matrix $M$ as a quantum communication protocol. These lower bounds depend on the entries of the matrix and not only on its support (the zero/nonzero pattern), overcoming a limitation of some previous techniques. We compare these new lower bounds with known bounds, and give examples where the new ones are better. As an application we determine the PSD-rank of (approximations of) some common matrices.

研究の動機と目的

• 行列要素に依存するが支持パターンにのみ依存する手法とは異なり、PSD-rank の下界を評価するための新しい技術を開発すること。
• PSD-rank の挙動に関する未解決問題、特にテンソル積における乗法性および体の依存性（実数 vs. 複素数）を解消すること。
• 内積行列や非等価行列のような基本的な行列の正確な漸近的 PSD-rank を特定すること。
• 通信複雑性行列、特に $\mathrm{IP}_n$ および $\mathrm{NE}_n$ の PSD-rank に対してタイトな上界を提供すること。
• PSD-rank を量子通信プロトコルと結びつけ、複雑性理論における新たな解析的ツールを可能にすること。

提案手法

• 著者たちは、共有もつれを用いて正定値行列のトレース内積により行列要素をシミュレートする量子通信プロトコルとして、PSD因子分解をモデル化する。
• 特に、もつれ付きの1方向プロトコルを分析することで、量子通信複雑性に基づいた PSD-rank の下界を導出する。プロトコルの成功確率と行列ランクの関係を結びつける。
• 上界の導出には、$\mathrm{IP}_n$ の構造に基づく再帰的ブロック行列構成を用いた、明示的なランク1の実数 PSD 因子分解を構築する。
• 内積行列 $\mathrm{IP}_n$ を小さな内積行列とすべて1のブロックにブロック行列分解し、行列の行操作を用いたランク不等式を適用する。
• $\mathrm{IP}_n$ とその共役行列のハダマール積が $\mathrm{IP}_n$ に一致するように変更された行列 $M_n$ を導入し、これにより PSD-rank に対するランクに基づく上界を得る。
• 最初のブロック行を他の行に加えた変換後のブロック行列のランクを分析し、スパースなブロックのランクを抑え込む問題に帰着する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 支持パターンではなく行列要素に依存する境界が、支持に基づく下界の制限を克服できるか？
• RQ2 PSD-rank はテンソル積において厳密に乗法的か。そうでない場合、完全な乗法性を妨げる条件は何か？
• RQ3 実対称行列に限定した因子分解と複素ヒルベルト行列に限定した因子分解の間で、PSD-rank に差異があるか？
• RQ4 内積行列 $\mathrm{IP}_n$ の正確な漸近的 PSD-rank は何か？
• RQ5 量子通信プロトコルを用いて、一般的な通信行列の PSD-rank に対するタイトな上界を導出できるか？

主な発見

• $n$ ビットの内積行列 $\mathrm{IP}_n$ の PSD-rank は、$n$ が偶数の場合、$N = 2^n$ とすると $2\sqrt{N}$ 以下である。
• 奇数 $n$ の場合、$\mathrm{IP}_n$ の PSD-rank は $\frac{3}{2}\sqrt{2}\sqrt{N}$ 以下であり、以前の境界を改善する。
• 著者たちは、$n/2+1$ ビットの1方向量子プロトコルを構築し、$\mathrm{IP}_n$ を期待値で計算可能であり、これにより PSD-rank の上界が示される。
• PSD-rank がテンソル積において厳密に乗法的でないことを示し、$\mathrm{rank}_{\mathrm{psd}}(P \otimes P) < \mathrm{rank}_{\mathrm{psd}}(P)^2$ を満たす反例を提供する。
• 実数 PSD-rank は漸近的に複素数 PSD-rank の $\sqrt{2}$ 倍まで大きくなり得ることを示し、体の依存性に関する疑問を解決する。
• 新しい境界は、支持に基づく手法の制限（行列ランクを超えることはできない）を克服し、ランクは小さいが PSD-rank は大きいような行列（例：$\mathrm{IP}_n$）に対してよりタイトである。