[論文レビュー] Specialization of $F$-Zips

Torsten Wedhorn|ArXiv.org|Jul 8, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、再帰的群の多様体において、1つの$F$-zip軌道が別の軌道の閉包に含まれるかどうかを特定する組合せ的基準を提示する。この基準は、Frobenius線形版のde Concini-Procesiの完備化を用いて構築される。主な結果は、Weyl群とFrobenius自己同型の作用を含む変形されたBruhat順序を介した閉包関係を確立し、これを用いて、主に極化されたアーベル多様体のモジュライ空間におけるEkedahl-Oort層の分類に応用する。

ABSTRACT

In \cite{MW}, B. Moonen and the author defined a new invariant, called $F$-Zips, of certain varieties in positive characteristics. We showed that the isomorphism classes of these invariants can be interpreted as orbits of a certain variety $Z$ with an action of a reductive group $G$. In loc. cit. we gave a combinatorial description of the set of these orbits. In this manuscript we give an explicit combinatorial recipe to decide which orbits are in the closure of a given orbit. We do this by relating $Z$ to a semi-linear variant of the wonderful compactification of $G$ constructed by de Concini and Procesi. As an application we give an explicit criterion of the closure relation for Ekedahl-Oort strata in the moduli space of principally polarized abelian varieties.

研究の動機と目的

• 再帰的群$G$と単純反射の部分集合$J$に関連する多様体$Z_{G,J}$における$F$-zip軌道の閉包関係を特定すること。
• $F$-zip同型類の組合せ的分類を、特化の挙動（すなわち、どの軌道が他の軌道の閉包に含まれるか）を含むように拡張すること。
• 閉包基準を、主に極化されたアーベル多様体のモジュライ空間$\mathcal{A}_g$におけるEkedahl-Oort層の分類に応用すること。
• Ekedahl-Oort層が他の層の閉包に含まれるための明確で計算可能な条件を明示的に確立し、分野における未解決問題を解決すること。

提案手法

• 再帰的群$G$とその対合群$G^{\mathrm{ad}}$のde Concini-Procesiの完備化における$(G \times G)$-軌道のFrobenius線形版への、$(G \times G)$-等変かつ滑らかで全射な準同型を構成する。
• 完備化における$(B \times B)$-軌道の既知の閉包関係を用い、$(B \times B)$-軌道と$G$-軌道の間の双対性を活用して、$Z_{G,J}$における閉包関係を誘導する。
• Weyl群$W$の部分集合${}^J W$に、$u^{-1} w \delta(u) \leq w'$を満たす条件により部分順序を定義する。ここで$\delta(u) = x F(u) x^{-1}$、$x = w_0^J$（$W^J$における最大元）である。
• $\mathcal{A}_g$におけるEkedahl-Oort層と$G$-軌道$Z_{G,J}^w$を、忠実平坦な準同型$\pi: \mathcal{A}_g \to [G \backslash Z_{G,J}]$を介して関係づけ、この準同型が層と$F$-zip軌道の間の双対性を誘導する。
• $G$-軌道$Z_{G,J}^w$の閉包が、変形されたBruhat不等式を満たすすべての$w'$に対する$Z_{G,J}^{w'}$の和集合であることを証明する。
• $G = \mathrm{Sp}_{2g}$、$J$をSiegelの放物部分群の型とする場合に一般の閉包基準を適用し、$\mathcal{A}_g$におけるEkedahl-Oort層の基準を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体$Z_{G,J}$において、どの$F$-zip軌道が他の軌道に特化するか。この閉包関係の明確な組合せ的条件は何か？
• RQ2 $Z_{G,J}$における$G$-軌道の閉包関係は、Weyl群とFrobenius作用を用いてどのように記述できるか？
• RQ3 Ekedahl-Oort分類は、Weyl群とFrobenius変形を含む組合せ的閉包規則によって完全に記述可能か？
• RQ4 Shimura多様体のPEL型に適用可能な、一様な方法で、層の閉包を群論的データに基づいて特定できるか？

主な発見

• 多様体$Z_{G,J}$における$G$-軌道$Z_{G,J}^w$の閉包は、$u \in W_J$が存在して$u^{-1} w \delta(u) \leq w'$を満たすすべての$Z_{G,J}^{w'}$の和集合である。ここで$\delta(u) = x F(u) x^{-1}$、$x = w_0^J$である。
• $F$-zip軌道の閉包関係は、Frobenius自己同型とWeyl群作用を含む変形されたBruhat順序によって完全に決定される。
• $\pi: \mathcal{A}_g \to [G \backslash Z_{G,J}]$は忠実平坦であるため、$Z_{G,J}$における閉包関係がモジュライ空間$\mathcal{A}_g$に持ち上がる。
• $\mathcal{A}_g$におけるEkedahl-Oort層は${}^J W$によってパラメトライズされ、層$\mathcal{A}_g^w$の閉包は、$\delta(u) = w_{0,J} u w_{0,J}$を満たすすべての$\mathcal{A}_g^{w'}$の和集合である。
• 本結果により、Ekedahl-Oort分類における層の包含関係について完全で明示的な基準が得られ、[EMO]で提示された未解決問題が解決される。
• 本手法は他のPEL型Shimura多様体へ一般化可能であり、$F$-zipsと群作用を用いた分類の均一な枠組みを提供する。