[論文レビュー] Splitting fields of characteristic polynomials of random elements in arithmetic groups

Florent Jouve, Emmanuel Kowalski+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、数体上の再帰的代数群の算術的部分群に属するランダムな要素について、その忠実表現の特性多項式の分解体のガロア群が、ランダムウォークの長さが増加するにつれて1に近づく確率で、群のウェイル群に同型であることを確立している。この結果は、大スクリーブ法、フロベニウス共轭類の等分布性、および有限マルコフ連鎖の大偏差推定に基づき、半単純群の場合にガロア群がウェイル群に指数的に集中することを証明する。

ABSTRACT

We discuss rather systematically the principle, implicit in earlier works, that for a "random" element in an arithmetic subgroup of a (split, say) reductive algebraic group over a number field, the splitting field of the characteristic polynomial, computed using any faitfhful representation, has Galois group isomorphic to the Weyl group of the underlying algebraic group. Besides tools such as the large sieve, which we had already used, we introduce some probabilistic ideas (large deviation estimates for finite Markov chains) and the general case involves a more precise understanding of the way Frobenius conjugacy classes are computed for such splitting fields (which is related to a map between regular elements of a finite group of Lie type and conjugacy classes in the Weyl group which had been considered earlier by Carter and Fulman for other purposes; we show in particular that the values of this map are equidistributed).

研究の動機と目的

• 再帰的代数群の算術的部分群に属するランダムな要素の特性多項式の分解体のガロア群が、元の代数群のウェイル群に同型である一般的原則を確立すること。
• 確率論的および群論的道具を用いて、従来の特殊事例に依存する結果を体系的な枠組みへと拡張すること。
• ガロア群が期待値より小さくなる確率を定量化し、ランダムウォークの長さに関して指数的減衰を示すこと。
• 有限型リー群におけるフロベニウス共轭類の等分布性を、ウェイル群の共轭類と関連づけること。
• 極限ガロア群 Π(G) の明確な記述を行い、G がスプリットである場合にはそれがウェイル群 W(G) と一致することを示すこと。

提案手法

• 算術群 Γ と有限対称生成集合 S を用いたケイリー図の上での長時間ランダムウォークにより、ランダムな要素をモデル化すること。
• 大スクリーブ法を用いて、分解体のガロア群が期待値より小さくなる確率を評価すること。
• 有限マルコフ連鎖の大偏差推定を用いて、群上でのランダムウォークの混合挙動を制御すること。
• 有限型リー群の正則元からウェイル群の共轭類への写像の等分布性を確立し、Carter や Fulman の研究を一般化すること。
• 特性多項式の分解体を、最大トーラスの分解体に還元することで、G の分解体上でのガロア理論に帰着させること。
• スプリットベース体 k_G 上での分解体のガロア群が、指数的減衰を伴ってウェイル群 W(G) に同型であることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的代数群の算術的部分群に属するランダムな要素の特性多項式の分解体のガロア群は何か？
• RQ2 ランダムウォークの長さが増加するにつれて、ガロア群はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ3 有限型リー群におけるフロベニウス共轭類が、ウェイル群の共轭類に対してどの程度等分布しているか？
• RQ4 極限ガロア群 Π(G) を明示的に記述できるか？また、いつそれがウェイル群 W(G) と一致するか？
• RQ5 期待されるガロア群への収束速度は何か？指数的境界を用いて定量的に記述できるか？

主な発見

• 半単純群 G に対して、ランダムウォークの要素の分解体のガロア群がウェイル群 W(G) に同型である確率は、ある c > 1 に対して 1 + O(c⁻ⁿ) である。これは指数的収束を示している。
• 一般の再帰的状況では、ガロア群は W(G) を含む有限群の部分商群 Π(G) に同型であり、n → ∞ のとき確率が1に近づく。
• G がスプリットであるとき、群 Π(G) は正確にウェイル群 W(G) に一致し、k 上の分解体のガロア群は指数的減衰を伴って W(G) に同型である。
• スプリットベース体 k_G 上の分解体のガロア群は、指数的減衰を伴って W(G) に同型である。これは幾何学的にスプリットな状況における原理の確認である。
• 有限型リー群の正則元からウェイル群の共轭類への写像の等分布性が確立され、これはスクリーブ法の根幹をなす。
• ランダムウォークモデルにより、W(G) をガロア群とする多項式に対する具体的な計算的アクセスが可能である。実際に、有界長さの多項式を構成した。