[論文レビュー] Stability and uniqueness for the inverse problem of the Schr\"odinger equation in 2D with potentials in W^{{\epsilon},p}

Emilia Blåsten|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2011

Numerical methods in inverse problems参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\varepsilon > 0$、$p > 2$ に対して、Sobolev 空間 $W^{\varepsilon,p}$ に属するポテンシャルを持つ2次元シュレーディンガー方程式の逆問題について、一意性および対数的安定性を確立する。Bukhgeïm の振動解とAlessandrini の恒等式を用い、停留位相推定とLorentz空間およびBMO型空間における補間理論を組み合わせることで、ポテンシャルの差がそのDirichlet-to-Neumann写像の差の対数的べき乗によって制御されることを示す。

ABSTRACT

This result will be published as part of my PhD thesis after some streamlining. This manuscript contains the proof of the claim, but is not peer-reviewed. We prove uniqueness and stability for the inverse problem of the 2D Schr\\"odinger equation in the case that the potentials give well posed direct problems and are in W^{{\\epsilon},p}({\\Omega}), {\\epsilon}>0, p>2. The idea of the proof is to use Bukhgeim's oscillating exponential solutions. By Alessandrini's identity and stationary phase we get information about the difference of the potentials from the difference of the Dirichlet-Neumann maps. Using interpolation, we see that the the worst of the remainder terms decays with an exponent of 1 - {\\epsilon} - {\\beta}. Here {\\beta} is the exponent which we get in a norm estimate for the conjugated Cauchy operator. We get it arbitrarily close to 1, so there is uniqueness and stability when {\\epsilon} > 0.

研究の動機と目的

• ポテンシャルが $W^{\varepsilon,p}(\Omega)$ に属する2次元シュレーディンガー方程式の逆問題について、一意性と安定性を確立すること。
• 従来の結果よりも正則性が低いポテンシャル、具体的には $\varepsilon > 0$ の場合にまで逆問題の枠組みを拡張すること。
• ポテンシャルの差に対する対数的安定性推定を、Dirichlet-to-Neumann写像の差の観点から導出すること。
• 安定性モジュラスがSobolev正則性 $\varepsilon$ に依存し、Lorentz空間とBMO空間間の補間によって改善可能であることを示すこと。

提案手法

• Bukhgeïm の複素指数関数解 $e^{in(z-z_0)^2}f$ を用いて、シュレーディンガー方程式の近似解を構成する。
• Alessandrini の恒等式を適用し、振動積分を介してDirichlet-to-Neumann写像の差とポテンシャルの差を関連付ける。
• 停留位相法を用いて、ポテンシャル差の振動積分表現における剰余項の推定を行う。
• 複素補間理論を $L^p$ と $W^{1,p}$ 空間の間で用い、剰余項の減衰を制御する。中間空間 $A_\theta$ と $X_\theta$ を導入する。
• 拡張および制限作用素を用いて、$\mathbb{C}$ から領域 $\Omega$ への推定の移行を実施し、共役されたコーシー作用素の有界性を活用する。
• $W^{1,l}$ ノルムが制御された切り捨て関数 $h$ を用いて解を局所化し、補間フレームワーク内の誤差項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポテンシャルが $W^{\varepsilon,p}$ に属する場合、$\varepsilon > 0$、$p > 2$ に対して、2次元シュレーディンガー逆問題の同定性と安定性を確立できるか？
• RQ2 低正則性ポテンシャルの下で、振動解に起因する剰余項の最適な減衰率は何か？
• RQ3 Lorentz空間とBMO空間間の補間が、逆問題における安定性モジュラスをどのように改善するか？
• RQ4 安定性推定をDirichlet-to-Neumann写像の差の対数的べき乗として定量的に表現できるか？
• RQ5 パrameter $\varepsilon$ が安定性推定の連続性モジュラスを決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 本稿は、直接問題が適切に定式化されている条件下で、$\varepsilon > 0$、$p > 2$ に対して、$W^{\varepsilon,p}(\Omega)$ に属するポテンシャルを持つ2次元シュレーディンガー方程式の逆問題について、一意性および対数的安定性を証明する。
• 安定性推定は、$\|q_1 - q_2\|_{L^2(\Omega)} \leq C'_{M,\varepsilon,a} \left(\ln \|\Lambda_{q_1} - \Lambda_{q_2}\|^{-1}\right)^{-\min(4\varepsilon,1)/8}$ の形を取り、データ誤差の対数的依存性を示す。
• 振動積分における剰余項の減衰率は $n^{-\theta/2}$ で制御され、$\theta = \min(\varepsilon, 1/4)$ であり、これが安定性モジュラスを決定づける。
• 空間 $X_\theta$ における補間の使用により、任意に小さい $\varepsilon > 0$ の場合にも安定性推定を拡張可能であり、従来の結果を改善する。
• 共役されたコーシー作用素に起因する剰余項が $n^{-\beta}$ のように減衰し、$\beta$ が1に限りなく近づくことが示され、$\varepsilon > 0$ の場合の安定性結果が可能になる。
• 誤差項が $z_0$ に関して一様に有界であることを保証するため、$W^{1,l}$ ノルムが制御された切り捨て関数 $h$ の注意深い構成に依存している。