[論文レビュー] Stability, uniqueness and existence of solutions to McKean-Vlasov SDEs: a multidimensional Yamada-Watanabe approach

Alexander Kalinin, Thilo Meyer‐Brandis+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2021

Stochastic processes and financial applications参考文献 37被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ヤマダ＝ワタナベのアプローチの新規多次元拡張を用いて、非リプシッツで確率的な係数をもつ多次元 McKean-Vlasov SDE に対して、解の経路的一意性、存在性、安定性を確立する。この手法はリャプノフ関数の構成を回避し、α > 0 に対して一階モーメントおよび α-指数的安定性を証明する。リャプノフ指数の明示的計算も可能であり、拡散係数に Osgood 型の条件が成立する場合や、解の分布に依存する可測なドリフトに対しても成立する。

ABSTRACT

We establish stability and pathwise uniqueness of solutions to Wiener noise driven McKean-Vlasov equations with random non-Lipschitz continuous coefficients. In the deterministic case, we also obtain the existence of unique strong solutions. By using our approach, which is based on an extension of the Yamada-Watanabe ansatz to the multidimensional setting and which does not rely on the construction of Lyapunov functions, we prove first moment and pathwise exponential stability. Furthermore, Lyapunov exponents are computed explicitly.

研究の動機と目的

• 非リプシッツで確率的な係数をもつ多次元設定における McKean-Vlasov SDE に対して、経路的一意性および安定性を確立すること。
• 古典的結果をリプシッツ仮定を越えて拡張するため、決定的係数のもとで強い解の存在を証明すること。
• リャプノフ関数の構成を回避する枠組みを構築し、代わりに多次元ヤマダ＝ワタナベの仮定に依存すること。
• リャプノフ指数を明示的に計算し、一階モーメントにおいて α > 0 に対して α-指数的安定性を確立すること。
• ドリフトおよび拡散係数に弱い正則性条件が成立する場合の、McKean-Vlasov 方程式に対するモーメント推定および極限定理の一般化。

提案手法

• 古典的なヤマダ＝ワタナベのアプローチを、確率的係数をもつ多次元 McKean-Vlasov SDE に拡張する。
• リャプノフ関数の構成を避けるために、経路的一意性の証明にパスワイズ結合技術を用いる。
• Osgood 型の条件が拡散係数に成立する場合に、グロワールド型の不等式を適用してモーメント推定および安定性バインドを導出する。
• 解の存在を示すために、確率測度の空間上での不動点反復を用い、法則を解の法則へ写像する作用素 Ψ を用いる。
• 確率測度の空間におけるプロホロフ距離およびワーサイステイン距離を用いて、位相的完備性および収束性を保証する。
• 微分積分学の基本定理およびフビニの定理を用いて、解過程の法則に関する積分バインドを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リャプノフ関数に依存せずに、非リプシッツで確率的な係数をもつ多次元 McKean-Vlasov SDE に対して、経路的一意性を確立できるか？
• RQ2 McKean-Vlasov SDE の解が、一階モーメントおよび α > 0 に対して α-指数的安定性を示す条件は何か？
• RQ3 不規則な係数をもつ McKean-Vlasov SDE の文脈で、リャプノフ指数を明示的に計算できるか？
• RQ4 係数が決定的で非リプシッツである場合、McKean-Vlasov SDE に対して強い解が存在するか？
• RQ5 弱い正則性仮定のもとで、確率測度の空間上での法則の不動点方程式によって、解の法則をどのように特徴づけられるか？

主な発見

• 拡散係数に Osgood 型の条件が成立し、ドリフトが解の分布に依存する可測関数である場合、確率的係数をもつ McKean-Vlasov SDE に対して経路的一意性が成立する。
• すべての t ≥ t₀ に対して一階モーメント安定性が確立され、λ₀ の可積分性および係数関数の成長度に依存するバインドが得られる。
• すべての α > 0 に対して、一階モーメントにおける α-指数的安定性が証明され、関数 fₚ,₀ を含む積分バインドから明示的な減衰率が導出される。
• 得られたモーメント推定およびドリフト・拡散係数の構造を用いて、リャプノフ指数が明示的に計算可能である。
• 決定的係数の場合、経路的一意性と弱解の存在の組み合わせにより、一意な強い解が存在することが保証される。
• 法則 μ を解 Xᵗˣ,ᵐ の法則へ写像する解写像 Ψ は、Bb,loc(ℙ₁(ℝᵐ)) 上で収縮写像であり、不動点列の存在および収束を保証する。