[論文レビュー] Stochastic homogenization of reversible random walks in random environment.

Alessandra Faggionato|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$$\mathbb{R}^d$$ 上の無限大跳躍範囲を有する確率的点測度上の可逆的ランダムウォークのための確率的均質化を、2スケール収束および$$\mathbb{G}$$-定常測度のパーム理論を用いて確立する。2次モーメント条件の下で、退化性や楕円型条件を仮定せず、$$L^2$$-半群およびリゾルベントが分散スケーリングされたランダムウォークに対してブラウン運動にクエンチ収束することを証明する。これは、ランダムコンダクタンスや超臨界パーコレーションなどのモデルをカバーする。

ABSTRACT

We consider random walks on the support of a random pure point measure on $\mathbb{R}^d$ with random jump probability rates. The jump range can be unbounded. The pure point measure is reversible for the random walk and stationary for the action of the group $\mathbb{G}=\mathbb{R}^d$ or $\mathbb{G}=\mathbb{Z}^d$. By combining two-scale convergence and Palm theory for $\mathbb{G}$-stationary random measures and by developing a cut-off procedure, under suitable second moment conditions we prove for almost all environments the homogenization for the massive Poisson equation of the associated Markov generators. In addition, we obtain the quenched convergence of the $L^2$-Markov semigroup and resolvent of the diffusively rescaled random walk to the corresponding ones of the Brownian motion with covariance matrix $2D$. For symmetric jump rates, the above convergence plays a crucial role in the derivation of hydrodynamic limits when considering multiple random walks with site-exclusion or zero range interaction. We do not require any ellipticity assumption, neither non-degeneracy of the homogenized matrix $D$. Our results cover a large family of models, including e.g. random conductance models on $\mathbb{Z}^d$ and on general lattices (possibly with long conductances), Mott variable range hopping, simple random walks on Delaunay triangulations, simple random walks on supercritical percolation clusters.

研究の動機と目的

• $$\mathbb{R}^d$$ 上の無限大跳躍範囲を有する確率的点測度上の可逆的ランダムウォークのための均質化を確立すること。
• $$L^2$$-マルコフ半群および分散スケーリングされたランダムウォークのリゾルベントが、共分散$$2D$$のブラウン運動にクエンチ収束することを証明すること。
• 均質化された拡散行列$$D$$の楕円型条件や非退化性を仮定する必要をなくすこと。
• ランダムコンダクタンスの格子上、モットの長距離跳躍、デローニ三角形分割やパーコレーションクラスタ上の単純ランダムウォークなどのモデルに均質化結果を拡張すること。

提案手法

• 2スケール収束と$$\mathbb{G}$$-定常確率測度のためのパーム理論を組み合わせ、環境の統計的構造を分析する。
• 無限大跳躍範囲を扱うためにカットオフ手続きを適用し、2次モーメント条件の下で収束を保証する。
• 点測度の可逆性および$$\mathbb{G} = \mathbb{R}^d$$ または $$\mathbb{Z}^d$$ における定常性を用いて、エルゴード性および不変性の性質を導出する。
• マルコフ生成作用素に関連するマスティブ・ポアソン方程式を分析し、均質化結果を導出する。
• 分散スケーリングされた過程の$$L^2$$における半群およびリゾルベントのクエンチ収束を確立する。
• 得られた結果を用いて、除外型またはゼロレンジ相互作用を有する相互作用粒子系の流体力学的極限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルコフ生成作用素のマスティブ・ポアソン方程式は、環境の跳躍率の2次モーメント条件の下で、ほとんど至る環境で均質化するか？
• RQ2 均質化行列$$D$$の楕円型条件や非退化性を仮定せず、$$L^2$$-半群およびリゾルベントのクエンチ収束がブラウン運動に成立するか？
• RQ3 長距離跳躍を有するモデル、例えばモットの長距離跳躍や一般格子上のランダムコンダクタンスに、結果がどの程度まで拡張可能か？
• RQ4 2スケール収束とパーム理論の組み合わせが、非楕円的かつ非退化な設定でも均質化を可能にする仕組みは何か？
• RQ5 点測度の可逆性および$$\mathbb{G}$$-定常性が収束を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 跳躍率および測度の2次モーメント条件の下で、ほとんど至る環境においてマスティブ・ポアソン方程式が均質化される。
• 分散スケーリングされたランダムウォークのマルコフ半群およびリゾルベントのクエンチ$$L^2$$-収束が、共分散$$2D$$のブラウン運動のそれらに確立される。
• 均質化行列$$D$$は非退化である必要も楕円型条件を満たす必要もないため、退化的および長距離型モデルへの適用範囲が広がる。
• 結果は、$$\mathbb{Z}^d$$ 上のランダムコンダクタンス、長距離コンダクタンス、モットの長距離跳躍、デローニ三角形分割上の単純ランダムウォークなど、広範なモデルクラスに適用可能である。
• 除外型またはゼロレンジ相互作用を有する相互作用ランダムウォーク系の流体力学的極限の導出を支援するフレームワークを提供する。
• カットオフ手続きは、一様楕円型条件の欠如にもかかわらず、無限大跳躍範囲を効果的に制御し、収束を可能にする。