[論文レビュー] String operations on rational Gorenstein spaces

Takahito Naito|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、単連結な有理Gorenstein空間の自由ループ空間の有理ホモロジーが、ストリング作用素の下で非単位的・非余単位的フォーベニウス代数をなすことを確立し、有理ホモトピー論を用いて『定数倍を除く』問題を解消した。ループ積と余積がねじれ結合的およびフォーベニウス整合性を満たすことを証明し、特に混合次数の生成子を持つ純粋サリバンモデルにおいて、これらの作用が非自明である明示的例を提示した。

ABSTRACT

Félix and Thomas developed string topology of Chas and Sullivan on simply-connected Gorenstein spaces. In this paper, we prove that the degree shifted homology of the free loop space of a simply-connected ${\mathbb Q}$-Gorenstein space with rational coefficient is a non-unital and non-counital Frobenius algebra by solving the up to constant problem. We also investigate triviality or non-triviality of the loop product and coproduct of particular Gorenstein spaces.

研究の動機と目的

• ストリングトポロジーにおける有理Gorenstein空間の『定数倍を除く』問題を解消し、厳密な代数的関係が成り立つようにすること。
• 単連結な有理Gorenstein空間の自由ループ空間におけるストリング作用素が余単位を除く2次元TQFTをなすかどうかを特定すること。
• 最小サリバンモデルを用いて、有理Gorenstein空間におけるループ積と余積の自明性または非自明性を調査すること。
• 古典的結果に反して、$(L_{\text{cop}} \times 1)L_{\text{cop}}$ が非自明である明示的計算例を提供すること。

提案手法

• エイレンバーグ＝モーア同型とループ積／余積写像の双対を用いて、有理ホモロジー上の作用素を定義する。
• 最小サリバンモデル $(\Lambda V, d)$ を用いた有理ホモトピー論を適用し、$H_*(LM; \mathbb{Q})$ の代数的構造を分析する。
• 文献[12]のねじれファンクター記述を用いて、チェーンレベルの図式とプッシュアウトを用いてストリング作用素を計算する。
• ねじれ結合的恒等式を導出：$L_p(L_p \otimes 1) = (-1)^d L_p(1 \otimes L_p)$ および $(L_{\text{cop}} \otimes 1)L_{\text{cop}} = (-1)^d (1 \otimes L_{\text{cop}})L_{\text{cop}}$。
• 文献[5]および[16]の符号規約を用いて、$m(a \otimes b) = (-1)^{d(|a|+d)} L_p(a \otimes b)$ として積を定義し、次数付き結合的性質を保証する。
• 純粋サリバンモデルにおける明示的チェーンレベル計算を実行し、$Dlp$ および $Dlcop$ の非自明性を示し、特に $Dlcop(Dlcop \otimes 1)((1 \otimes su_2) \otimes (1 \otimes 1) \otimes (1 \otimes su_2)) = u_2^4 \otimes 1 \neq 0$ を得た。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単連結な有理Gorenstein空間の自由ループ空間におけるループ積と余積は、ねじれ結合的性質を満たすか？
• RQ2 ストリングトポロジーにおける『定数倍を除く』問題が有理的設定で解消され、厳密なフォーベニウス代数構造が得られるか？
• RQ3 最小サリバンモデルのどのような条件下で、ループ積または余積が自明または非自明になるか？
• RQ4 $(L_{\text{cop}} \otimes 1)L_{\text{cop}}$ が非自明であるような有理Gorenstein空間が存在するか？これは多様体に対してタマノイの結果と矛盾するか？
• RQ5 サリバンモデルにおける生成子の次数が、ストリング作用素の非自明性にどのように影響するか？

主な発見

• シフトされた有理ホモロジー ${\mathbb{H}}_*(LM; \mathbb{Q}) = H_{*+d}(LM; \mathbb{Q})$ は、ループ積と余積の下で非単位的・非余単位的フォーベニウス代数をなす。
• ループ積は $L_p(L_p \otimes 1) = (-1)^d L_p(1 \otimes L_p)$ を満たし、ねじれ結合的であることを証明した。
• ループ余積は $(L_{\text{cop}} \otimes 1)L_{\text{cop}} = (-1)^d (1 \otimes L_{\text{cop}})L_{\text{cop}}$ を満たし、ねじれコアソシエーションを確立した。
• フォーベニウス整合性条件が成り立つ：$L_{\text{cop}} \circ L_p = (-1)^d (L_p \otimes 1)(1 \otimes L_{\text{cop}}) = (-1)^d (1 \otimes L_p)(L_{\text{cop}} \otimes 1)$。
• 唯一の奇数次元生成子を持つ最小サリバンモデルでは、ループ積は非自明であり、余積は自明である。
• 偶数次元と奇数次元の両方の生成子を持つ純粋サリバンモデルで、$\dim V^{\text{odd}} > \dim V^{\text{even}}$ ならば、ループ余積は自明である。$d=0$ ならば、両方の作用も自明である。